什么是齐次坐标

源自AI

齐次坐标是一种在投影几何中使用的坐标系统，它允许用代数方式来表示无穷远点和变换，简化了图形学和计算机视觉中的计算。

简单来说，就是用 n+1 个坐标来表示 n 维空间中的点。

核心思想：

• n 维空间中的点 (x, y, z, ...) 用 n+1 维空间中的点 (x', y', z', w) 表示，其中 x = x'/w, y = y'/w, z = z'/w, ...

举例：

• 二维空间： 一个点 (x, y) 用齐次坐标表示为 (x, y, w)。 通常情况下，w = 1，即 (x, y, 1)。 但如果 w = 0，则表示一个无穷远点。

• 三维空间： 一个点 (x, y, z) 用齐次坐标表示为 (x, y, z, w)。 同样，w = 1 时是普通坐标，w = 0 时是无穷远点。

为什么使用齐次坐标？

使用齐次坐标的主要原因包括：

1. 表示无穷远点： 齐次坐标能够优雅地表示无穷远点。 当 w = 0 时，齐次坐标 (x, y, 0) 或 (x, y, z, 0) 代表一个方向向量，而不是一个实际的点。 这对于描述平行线的交点或透视投影非常有用。

2. 统一仿射变换： 齐次坐标可以将平移、旋转、缩放和错切等仿射变换统一表示为矩阵乘法。 使用 3x3 矩阵无法表示平移操作，但使用 4x4 齐次矩阵可以轻松表示平移。 这简化了图形学中的变换操作，提高了效率。

   • 例如，平移变换：

     [x']   [1  0  tx] [x]
     [y'] = [0  1  ty] [y]
     [1]    [0  0  1 ] [1]

     使用齐次坐标后，可以将平移操作表示为一个矩阵乘法。

3. 简化透视投影： 透视投影是一种重要的投影方式，它模拟了人眼看到的图像效果。 使用齐次坐标可以更容易地实现透视投影的计算。 透视除法（将齐次坐标转换为普通坐标的过程）是在最后进行的，简化了中间的计算步骤。

齐次坐标的优势总结：

• 统一表示： 将点和向量统一表示在同一个坐标系中。

• 简化变换： 将各种仿射变换统一表示为矩阵乘法，易于计算和组合。

• 表示无穷远点： 能够表示无穷远点，解决了普通坐标系无法表示的问题。

• 简化透视投影： 更容易实现透视投影的计算。

应用场景：

齐次坐标广泛应用于以下领域：

• 计算机图形学： 用于表示和变换 3D 模型、相机参数、光照等。

• 计算机视觉： 用于图像匹配、相机标定、三维重建等。

• 机器人学： 用于机器人运动规划和控制。

• 游戏开发： 用于场景渲染、碰撞检测等。

例子：

假设有一个点 (2, 3) 在二维平面上。

• 普通坐标： (2, 3)

• 齐次坐标： (2, 3, 1) 或者 (4, 6, 2) 或者 (6, 9, 3) 等， 只要满足 x/w = 2 且 y/w = 3 即可。

总结：

齐次坐标是一种强大的数学工具，它简化了图形学和计算机视觉中的许多计算，并允许我们优雅地表示无穷远点。 理解齐次坐标对于深入了解这些领域至关重要。