统计学——协方差和相关系数

1.矩形面积

引入两个常见变量身高X和体重Y，这两者是比较常见的正相关，以下是一组身高和体重数据：

我们在平面坐标上先画出2个人的坐标点，然后以两个点画一个矩阵，为了后续更好的解释正负相关性，我们用红色表示正相关，蓝色表示负相关。那么前两个点之间就是红色矩阵。计算矩阵面积为(160-152)×(54-45)=72，结果是正数。

接下来我们在该平面上引入第三个点，那么第三个点和前两个点分别组成矩阵，由于该同学比较瘦高，那么第三个点和前两个点呈负相关，呈蓝色，如下图所示。计算其中一个蓝色矩阵面积(172-152)×(44-45)=-20，面积为负数。

以此类推，我们将所有点都引入到该平面，并画出所有矩阵，如下图所示

从以上平面中我们可以看到，平面中红色矩阵占大部分，而蓝色矩阵比较少，所以整体呈现红色。我们计算所有矩阵的面积，最后的结果也为正数，这说明X，Y这两个随机变量整体上是正相关的关系；如果蓝色矩阵占大多数，所有矩阵的面积为负数，则两个变量是负相关；如果两个颜色差不多，矩阵面积为0，则不相关。
我们用数学公式表示所有的矩阵面积如下：
$$A=\sum _{i,j=\mathrm{12...}n}^{i\le j}(x_i-x_j)(y_i-y_j)$$
那么$$X和Y的相关性=\{\begin{array}{r}正相关，A>0\\ 负相关，A<0\\ 不相关，A=0\end{array}$$

2.协方差

我们需要对上门的矩阵面积公式进行简化，我们用X的均值$\mu X$替换所有$X_j$，用Y的均值$\mu Y$替换所有$Y_j$