数据结构——浙大网易云课堂记录（一）树（中篇）

二叉搜索树

利用二叉树搜索树（BST，Binary Search Tree），提高查找效率。设左儿子的节点值<父节点值<右儿子节点值，在树中搜索X，每遇到一个节点，将X 的值和节点值做比较，若X 较小，去左子树继续查找；若X 较大，去右子树继续查找；直至全部节点比较完毕或查找到元素。

查找操作Find

Position Find(ElementType X, BinTree BST){
    if(!BST) return NULL; // 查找失败
    if(X < BST -> Data){
        return Find(BST -> Left);
    }else if(X > BST -> Data){
        return Find(BST -> Right);
    }else{
        return BST; // BST -> Data == X
    }
}

上述方法中有尾递归，即递归的调用出现在函数末尾，本例是在return 语句。可以将尾递归函数更改为迭代函数。

Position IterFind(ElementType X, BinTree BST) {
    while(BST) {
        if(X < BST -> Data){
            BST = BST -> Left;
        }else if(X > BST -> Right){
            BST = BST -> Right;
        }else{
            return BST;
        }
    }
    return NULL; // 查找失败
}

如果树“不平衡”，比如所有节点没有右儿子，那么N 个节点构成的数的深度是N-1，此时查找次数达不到理想的log(N)。

插入操作Insert

1. 如果树空，新建节点，给新节点赋值，返回指向该新节点的指针。
2. 如果插入值比根节点小，去左子树插值。
3. 如果插入值比根节点大，去右子树插值。

BinTree Insert(ElementType X, BinTree BST){
    if(!BST){
        BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));
        BST -> Data = X;
        BST ->left = NULL;
        BST -> Right = NULL;
    }else if(X < BST -> Data){
        BST -> Left = Insert(X, BST -> Left);
    }else(X > BST -> Data){
        BST -> Right= Insert(X, BST -> Right);
    }
    return BST;
}

这个函数和搜索有点像，但是多了一个返回值。返回的节点会被赋给父节点的左儿子或右儿子，继而，更新过后（已经插入新节点）的子树会“连”回根节点，一层层向上……

删除操作Delete

1. 查找到该元素
2. 分情况
   1.被删的节点是叶节点，直接让它的父节点指向它的指针为null
   2.被删的节点只有一个儿子，，让它的父节点指向它的儿子
   3.被删的节点左右子树都非空，转化为第二种情况：在左子树中找到最大值（没有右儿子）或在右子树中找到最小值（没有左儿子），用最值节点代替被删节点，然后删除最值节点。

平衡二叉树

树的形状影响搜索效率。
定义平衡因子（Balance Factor，BF）：BF(T) = hL - hR，其中hL、hR 分别是左右子树高度。
平衡二叉树（Balanced Binary Tree，AVL Tree）：
空树，或者
对任一节点，有|BT(T)| <= 1。

平衡二叉树高度

节点数为n，最大高度O(logn)，证明：利用斐波那契数列。

平衡二叉树的调整

RR旋转

LL旋转

LR旋转

RL旋转