理解Rao - Cramer不等式

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本文探讨了在统计推断中无偏估计量的方差下界问题，即Rao-Cramer不等式的概念。解释了一个理想的无偏估计量不仅需要准确，其方差也需要尽可能小的原因，并介绍了如何利用Rao-Cramer不等式来确定方差的理论下限。

在可估计函数的无偏估计量中，自然希望估计量的方差尽可能小，那么估计量的方差能小到什么程度呢？有无下界？若有的话，如何去求它？Rao - Cramer不等式回答了这些问题。

  • 一个无偏估计量希望方差最小，但不能等于0。若方差为0，则意义上已经成为一个常量。无偏估计量是对随机变量提出的，因而有下界。

而这个下界则指的是Rao - Cramer不等式。

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在系统辨识中，如何根据A-最优准则和D-最优准则选择最优输入信号？请结合Fisher信息矩阵和Cramer-Rao不等式进行解释。
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在系统辨识的任务中，选择最优输入信号是确保模型精度和可靠性的关键环节。最优输入信号的选择通常依据A-最优准则和D-最优准则来实现，这两个准则都是基于Fisher信息矩阵和Cramer-Rao不等式。 参考资源链接：[系统辨识：输入信号选择与最优设计](https://wenku.youkuaiyun.com/doc/2f2d2in7ub?spm=1055.2569.3001.10343) 首先，Fisher信息矩阵为一个描述了参数估计方差下界的矩阵，它的逆矩阵表示了参数估计的方差协方差矩阵。根据Cramer-Rao不等式，任何无偏估计量的方差都不会小于Fisher信息矩阵逆矩阵对应元素的值。 A-最优准则关注的是整个参数估计方差的和。其目标是寻找一个输入信号，使得Fisher信息矩阵的迹最小，即参数估计的总方差最小。具体到操作层面，可以使用数值优化方法来求解，使得在辨识的时间范围内，输入信号的激励能最大化系统参数的Fisher信息矩阵的迹。 D-最优准则则关注Fisher信息矩阵行列式的最大化。这意味着要找到一个输入信号，使得在所有可能的输入信号中，Fisher信息矩阵的行列式值达到最大。D-最优准则通常适用于当需要同时考虑多个参数估计精度的情况，它能确保参数估计的整体精确性。 在实际操作中，选择输入信号时还需要考虑系统动态特性、辨识方法以及数据的特性。例如，如果系统的输出数据是一个高斯随机序列，那么D-最优输入信号往往是一个具有特定自相关函数的信号，如白噪声或M序列。 综上所述，理解A-最优和D-最优准则并结合Fisher信息矩阵和Cramer-Rao不等式，可以帮助我们设计出能够最大限度地提高模型精度的输入信号。推荐您参考《系统辨识：输入信号选择与最优设计》这一PPT资源，它详细讲解了系统辨识中输入信号选择对模型精度的影响，以及如何根据A-最优准则和D-最优准则进行最优输入信号的设计。通过这份资料，您可以更深入地学习和掌握系统辨识中输入信号选择的方法论。 参考资源链接：[系统辨识：输入信号选择与最优设计](https://wenku.youkuaiyun.com/doc/2f2d2in7ub?spm=1055.2569.3001.10343)
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