【数据结构】02_平衡二叉树到底是个什么玩意儿?

平衡二叉树与红黑树:从AVL旋转到红黑树插入修正的408全攻略 在数据结构的学习中,树的平衡性是绕不开的核心议题。普通二叉搜索树在极端输入下会退化成链表,查找效率从O(log n)骤降至O(n)。为解决这一问题,计算机科学家提出了自平衡二叉搜索树,其中最具代表性的便是平衡二叉树(AVL)与红黑树。AVL通过严格的平衡因子和四种旋转操作,将树高维持在极致平衡状态,适合查询密集的场景;红黑树则通过颜色标记与局部调整,以更宽松的平衡策略换取更低的插入删除开销,被广泛应用于TreeMap、HashMap等工程实现中。理解两者的设计原理、旋转逻辑与复杂度差异,不仅有助于应对408 阅读详情

【数据结构】02_平衡二叉树到底是个什么玩意儿?

定义

AVL树:是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中,任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1,因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是 O ( l o g n ) O(log {n}) O(logn)。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转,以实现树的重新平衡。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和Evgenii Landis,他们在1962年的论文An algorithm for the organization of information 中公开了这一数据结构。 节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度(有时相反)。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的,并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中,或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。

平衡二叉树具备以下几个特性:
1.需要平衡,像斜二叉树那种一看就不平衡
2.平衡认为是动作和结果,比较斜的树给你调整平衡了
3.左右子树高度差不能大于1
4.左右子树也是平衡二叉树

平衡在哪里

怎样保证二叉树平衡呢,我们就看下以下几个场景:

单旋转平衡

在这里插入图片描述

  • 我们依次插入1 2 3的时候,由于是个右斜树,需要通过旋转来达到树平衡
  • 根据左结点小于父结点,右结点大于父节点的原则,只需要左旋一次即可达到平衡状态

双旋转平衡

在这里插入图片描述

  • 原先我们的树是一个平衡状态,当插入90的时候叶子结点高度差大于1了,破坏了平衡
  • 为了达到平衡,我们做了两步操作:首先左子树以结点50为顶点的树先进行左旋,然后100为顶点的树再进行右旋
    在这里插入图片描述

总结

平衡二叉树能够保证我们在进行插入操作的时候树的深度最小,插入查找的速率最快。

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根结点的序号为 1,对于每个节点 Node,假设它存储在数组中下标为 i 的位置,那么它的左子节点就存储在 2i 的位置,它的右子节点存储在下标为 2i+1 的位置。细心的小伙伴可能发现了,当根节点的值为 1 的情况下,若父结点的序号是 i,那么左子节点的序号就是 2i,右子节点的序号是 2i+1。二叉树的先序遍历,就是先输出根结点,再遍历左子树,最后遍历右子树,遍历左子树和右子树的时候,同样遵循先序遍历的规则,也就是说,我们可以递归实现先序遍历。树就是一种类似现实生活中的树的数据结构(倒置的树)。

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plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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