5、资源成本下的安全博弈与负外部性分配问题解析

资源成本下的安全博弈与负外部性分配问题解析

1. 安全博弈中的近似算法

在安全博弈场景中，当存在可按成本购买的无限资源供应时，我们需要设计一种算法来解决资源购买和分配问题。目标是确定性地以最小成本购买一些资源，然后将它们随机分配到各个调度中，确保每个目标至少以一定概率得到防御。

从数学推导来看，对于资源和目标的关系，我们有如下结论。设资源集合为 (R)，调度集合为 (S)，目标集合为 (T)。对于每个资源 (r) 和调度 (s)，有 (η(p_r, s) = p_r(s) |S|^2)，对于目标 (t)，有 (λ_t = ⌈e × q_t × |S|^2⌉\geq e q_t |S|^2)。定义 (φ_r(t) = \sum_{s: t\in T(s)} p_r(s))，可得 (\sum_{r\in R} φ_r(t) = \sum_{r\in R} \sum_{s: t\in T(s)} p_r(s) \geq e q_t)。

资源 (r) 不防御目标 (t) 的概率为 (1 - \sum_{s: t\in T(s)} p_r(s) = 1 - φ_r(t))。由于资源分配到调度的事件相互独立，所有资源都不防御目标 (t) 的概率为 (\prod_{r\in R}(1 - φ_r(t)))。因为 (q_t \leq 1/e)，所以 (\prod_{r\in R}(1 - φ_r(t)) \leq \prod_{r\in R} exp(-φ_r(t)) = exp(-\sum_{r\in R} φ_r(t)) \leq exp(-e q_t))。那么，防御目标 (t) 的概率至少为 (1 - exp(-e q_t) \geq q_t)。

虽然可以设计一个多项式