程序员数学：深入理解阶乘算法及其实现

时翔辛Victoria

于 2025-06-03 09:11:07 发布

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程序员数学：深入理解阶乘算法及其实现

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前言：什么是阶乘？

阶乘是数学中一个基础但非常重要的概念，在计算机科学和编程领域有着广泛的应用。简单来说，一个正整数n的阶乘（记作n!）是所有小于及等于n的正整数的乘积。例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

阶乘的历史渊源

阶乘的概念可以追溯到12世纪，当时印度学者已经开始使用类似阶乘的方法来计算排列组合问题。到17世纪，法比安·斯特德曼在研究变化铃声（Change ringing）时，进一步发展了阶乘的概念，将其描述为递归关系："一个数字的变化数包含了所有比它小的数字的变化数"。

阶乘的数学定义

阶乘的正式数学定义有两种表达方式：

连乘积形式：n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n-1) × n
递归定义：n! = n × (n-1)!，且0! = 1

特别需要注意的是，0的阶乘被定义为1，这是数学上的一个约定，它在组合数学和多项式的展开中有着重要的意义。

阶乘的递归实现

在编程中，阶乘的递归实现非常直观，完美体现了数学定义：

public class Factorial {
    public long factorial(long number) {
        if (number <= 1)
            return 1;
        else {
            return number * factorial(number - 1);
        }
    }
}

这段代码的关键点：

基线条件（base case）：当number ≤ 1时返回1
递归调用：number * factorial(number - 1)
逐步分解问题，直到达到基线条件

阶乘的迭代实现

虽然递归实现很优雅，但在实际应用中，迭代实现往往效率更高：

public long factorialIterative(long number) {
    long result = 1;
    for(long i = 2; i <= number; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}

迭代实现的优势：