深入理解slambook2中的Eigen几何变换模块-优快云博客

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深入理解slambook2中的Eigen几何变换模块

slambook2 edition 2 of the slambook 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/sl/slambook2

前言

在计算机视觉和机器人领域，几何变换是最基础也是最重要的概念之一。slambook2作为视觉SLAM领域的经典教程，在第三章中详细介绍了如何使用Eigen库进行各种几何变换操作。本文将深入解析其中的eigenGeometry.cpp示例代码，帮助读者全面理解3D空间中的旋转、平移等几何变换。

Eigen几何模块概述

Eigen是一个高效的C++模板库，主要用于线性代数、矩阵和向量运算。在slambook2中，Eigen的Geometry模块被广泛用于处理3D空间中的几何变换，包括：

旋转矩阵
旋转向量（轴角表示）
欧拉角
四元数
变换矩阵

这些表示方法各有优缺点，适用于不同的场景。下面我们将逐一分析代码中展示的各种几何变换表示方法。

旋转矩阵

旋转矩阵是3×3的正交矩阵，用于表示三维空间中的旋转。在代码中：

Matrix3d rotation_matrix = Matrix3d::Identity();

这里创建了一个3×3的双精度单位矩阵。旋转矩阵的特点是：

行列式为1
逆矩阵等于转置矩阵
保持向量长度不变

旋转向量（轴角表示）

旋转向量是一种紧凑的旋转表示方法，用一个旋转轴和一个旋转角度来表示旋转：

AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1)); // 沿Z轴旋转45度

这种表示方法的特点：

直观：可以清楚地看到旋转轴和旋转角度
紧凑：只需要4个参数（3个表示轴，1个表示角度）
存在奇异性：当角度为0时，旋转轴不确定

旋转向量可以方便地转换为旋转矩阵：

rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();

坐标变换示例

代码展示了如何使用旋转向量和旋转矩阵对向量进行旋转：

Vector3d v(1, 0, 0);
Vector3d v_rotated = rotation_vector * v; // 使用旋转向量
v_rotated = rotation_matrix * v; // 使用旋转矩阵

这两种方法得到的结果是相同的，因为它们表示的是同一个旋转。

欧拉角

欧拉角是一种直观的旋转表示方法，通过绕三个坐标轴的连续旋转来表示任意旋转：

Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles(2, 1, 0); // ZYX顺序

欧拉角的特点：

直观：可以分解为绕X、Y、Z轴的旋转角度
存在万向节死锁问题
不唯一：同一个旋转可能有多种欧拉角表示

在代码中，参数(2,1,0)表示ZYX顺序，即：

绕Z轴旋转（偏航角，yaw）
绕Y轴旋转（俯仰角，pitch）
绕X轴旋转（滚转角，roll）

变换矩阵

在实际应用中，我们通常需要同时表示旋转和平移。Eigen提供了Isometry3d类来表示欧氏变换：

Isometry3d T = Isometry3d::Identity();
T.rotate(rotation_vector); // 设置旋转部分
T.pretranslate(Vector3d(1, 3, 4)); // 设置平移部分

变换矩阵的特点：

实际上是4×4矩阵
左上3×3部分是旋转矩阵
右上3×1部分是平移向量
最后一行是[0,0,0,1]

使用变换矩阵进行坐标变换：

Vector3d v_transformed = T * v; // 相当于R*v + t

四元数

四元数是表示旋转的另一种重要方式，由一个实部和三个虚部组成：

Quaterniond q = Quaterniond(rotation_vector);
q = Quaterniond(rotation_matrix);

四元数的特点：

紧凑：只需要4个参数
无奇异性
计算效率高
适合插值

代码中展示了四元数的两种构造方式：从旋转向量和从旋转矩阵构造。

使用四元数旋转向量：

v_rotated = q * v; // 数学上是qvq^{-1}

注意四元数旋转向量的数学原理是：q * v * q^{-1}，其中v被表示为纯虚四元数。

各种表示方法的比较

| 表示方法 | 参数数量 | 是否紧凑 | 是否直观 | 是否存在奇异性 | 插值难度 | |---------|---------|---------|---------|--------------|---------| | 旋转矩阵 | 9 | 否 | 一般 | 无 | 困难 | | 旋转向量 | 3 | 是 | 较直观 | 角度为0时 | 中等 | | 欧拉角 | 3 | 是 | 非常直观 | 万向节死锁 | 困难 | | 四元数 | 4 | 是 | 不直观 | 无 | 简单 |