23、量子构型空间与奇异统计

量子构型空间与奇异统计

1. 量子构型空间的表征方法

量子构型空间的表征方法有多种，每种方法都有相关的研究文献，并且在某些情况下与量子化或量子力学的观点相关。局部对称群可以相应地扩大，以包含在逐点李群运算下从 𝑀 到 𝐿 的紧支撑 𝐶∞ 映射，和/或包含 𝑀× 𝑆 的丛微分同胚。

2. 诱导表示与粒子统计

• 构型空间的定义 ：对于 𝑁 个不可区分的粒子在 R𝑑（𝑑≥2）中，以及 𝑁 个（可区分或不可区分）粒子在 R2 中的情况，构型空间 Γ(𝑁) 是 R𝑑 中 𝑁 点子集的集合，记为 𝛾 = {x1, …, x𝑁} ∈Γ(𝑁)。它也可写成 [R𝑑𝑁 - 𝐷]/𝑆𝑁 的形式，其中 R𝑑𝑁 是 R𝑑 中有序 𝑁 元组的集合，𝐷 是存在 x𝑖 = x𝑗（𝑖≠𝑗）的 𝑁 元组的“对角”集合，𝑆𝑁 是 𝑁 个对象的对称群。因此，Γ(𝑁) 是无重复点的有序 𝑁 元组集合，模去点值的所有置换。微分同胚 𝜙 通过右作用 𝛾 = {x1, …, x𝑁} → 𝜙𝛾 = {𝜙(x1), …, 𝜙(x𝑁)} 作用于 Γ(𝑁)。
• Γ(𝑁) 的连通性 ：当 𝑑≥2 时，Γ(𝑁) 是多重连通的。任何从构型 𝛾0 开始并非平凡地置换 𝛾0 中各点位置的连续路径，都会在构型空间中形成一个基于 𝛾0 的闭环，且该闭环不能连续收缩到 𝛾0。

𝑑≥3 的情况 ：
- 基本群与万有覆盖空间