14、Mielnik的量子控制：理论与实践探索

Mielnik的量子控制：理论与实践探索

1. 时变哈密顿系统的量子控制

对于由时变哈密顿量支配的系统，量子控制需要以不同的方式实现。我们知道，自伴哈密顿量诱导的演化算符是幺正的。那么自然会思考一个逆问题：是否任何幺正算符都能作为动力学演化的结果？也就是说，能否为系统设计一组规定的外部条件，使其演化算符在特定时间成为所需的幺正算符？

Mielnik在1977年给出了答案：在没有超选择规则的情况下，任何幺正算符都可以通过动力学近似得到。1986年，还提出了一种通用方法来诱导任意幺正演化：
- 步骤一 ：选择一个执行循环动力学过程的系统，使得 (U_0(\tau) = I)，这被称为演化环（EL）。
- 步骤二 ：通过对EL进行微扰，该过程的微小偏差最终将诱导出任何给定的幺正操作。

下面我们通过具体的一维和三维系统来进一步探讨。

2. 一维系统的量子控制

一维谐振子是具有EL的最简单系统。我们先考虑由以下形式的哈密顿量支配的一维系统：
[H(t) = \frac{p^2}{2} + \frac{g(t)q^2}{2}]
其中 (q) 和 (p) 是量子力学坐标和动量算符，满足 ([q, p] = i)，系统的演化算符 (U(t)) 满足：
[\frac{dU(t)}{dt} = -iH(t)U(t), U(0) = I]

1977年有一个有趣的结果：对于周期脉冲序列 (g(t) = \frac{1}{\lambda}\delta(t - \lambda))（(0 < t \leq \lamb