13、超流形上局部自由层的分类定理与量子控制的发展

超流形上局部自由层的分类定理与量子控制的发展

1. 超流形上局部自由层的分类

1.1 层的分级与相关定义

在超流形的研究中，层的分级是一个重要概念。层 $\tilde{\mathcal{E}}$ 按定义是 $\mathbb{Z}$ - 分级的，与某些 $\mathbb{Z} 2$ - 分级不同，其自然的 $\mathbb{Z}_2$ - 分级与 $\mathbb{Z}$ - 分级是兼容的。具体定义如下：
[
(\tilde{\mathcal{E}}) {\overline{0}} := \bigoplus_{p = 2k} \tilde{\mathcal{E}} p, \quad (\tilde{\mathcal{E}}) {\overline{1}} := \bigoplus_{p = 2k + 1} \tilde{\mathcal{E}}_p
]

我们的目标是对超流形 $(M, \mathcal{O})$ 上的 $\mathcal{O}$ - 模的局部自由层 $\mathcal{E}$ 进行分类，这些超流形具有固定的收缩 $(M, \tilde{\mathcal{O}})$，并且对应的局部自由层 $\tilde{\mathcal{E}}$ 也是固定的。

1.2 准态射与相关概念

设 $(M, \mathcal{O})$ 和 $(M, \mathcal{O}’)$ 是两个超流形，$\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{E}’$ 分别是 $M$ 上的 $\mathcal{O}$ - 模和 $\mathcal{O}’$ - 模的局部自由层。若 $\P