22、图像恢复中的傅里叶变换技术解析

图像恢复中的傅里叶变换技术解析

在图像恢复领域，傅里叶变换是一项至关重要的技术，它能够帮助我们对图像进行频域分析和处理，从而实现图像的滤波、模糊处理以及恢复等操作。下面将详细介绍傅里叶变换的相关知识，包括逆傅里叶变换、二维傅里叶变换、OpenCV 中的傅里叶变换以及如何创建人工模糊图像。

1. 逆傅里叶变换

逆傅里叶变换的作用是将傅里叶变换后的结果还原为原始数据，就像对数函数和指数函数的关系一样，二者相互逆向操作。离散逆傅里叶变换的公式如下：
[f(k) = \frac{1}{N}\sum_{w = 0}^{N - 1}F(w)e^{2\pi jwk/N}]
与正向变换相比，指数部分的符号相反。需要注意的是，常数因子 (\frac{1}{N}) 的使用方式较为灵活，有些人将其应用于正向变换，有些人将其在正向和逆向变换中拆分使用，还有些人仅将其应用于逆向变换。例如， slow1.c - slow4.c 程序由于完全忽略了乘法常数，会产生略有不同的数值结果。

快速算法同样可以应用于逆傅里叶变换，使得数据在正反两个方向的变换都能轻松完成。在 fftlib.c 例程中，一维逆快速傅里叶变换（FFT）函数与正向 FFT 函数相同，通过一个参数来指定变换方向。

2. 二维傅里叶变换

之前提到的傅里叶变换主要针对一维数据，对于图像应用而言不够明确。二维傅里叶变换的扩展相对简单，其数学公式为：
[F(u, v) = \frac{1}{\sqrt{nm}}\sum_{i = 0}^{n - 1}\sum_{k = 0}^{m - 1}e^{-2\pi j(ui +