多孔介质中微极性流体的线性分岔

多孔介质中扩散对流微极性流体的线性分岔

摘要

本摘文要中，我们研究了多孔介质中的扩散微极性方程，并给出了参数的线性稳定区域。我们求出了布林克曼‐埃林根 方程线性部分的所有参数特征值和特征向量。接着，我们证明了该算子的线性部分是扇形的。我们还找到了决定 问题发生霍普夫分岔和鞍结分岔的两个临界参数。最后，我们建立了稳定性交换原理。

关键词 微极性方程  多孔介质  扩散对流  线性稳定性  分岔
数学学科分类 主要37L15  二级35B32

引言

当流体中的热量浓度影响流体的层密度时，就会产生 扩散对流。热量分布的变化引起流体层密度的改变， 并导致静止状态的不稳定性。

夏春、马天和王寿鸿在Hsia等人（2008a，b）中 确定了二维和三维常规双扩散对流中静止状态的线性 和非线性稳定性范围。他们研究了该问题的分岔吸引 子，并发现了两个临界瑞利值，分别表征该问题的鞍 结分岔和霍普夫分岔。我们将他们的结果推广到了多 孔介质中微极性流体方程的线性部分，此问题比其经 典对应情形更为丰富。并且此问题比其经典对应情形 更为丰富。关于牛顿流的十余种线性和非线性分岔以 及瑞利‐贝纳德不稳定性阈值的研究，可参见马和王 （2005，2014）。

毫无疑问，流体研究中最重要的且最具应用价值的部 分之一是微极性流体的研究。近年来，这一现象一直在增加。我们问题的非线性和 吸引子分岔将在我们的下一篇文章中提出。

微极性流体是具有微观结构的液体。它属于一类 具有非对称应力张量的流体，称为极性流体，这是经 典流体的经典纳维‐斯托克斯模型的推广。微极性流体 代表由悬浮在粘性介质中的刚性、随机取向（或球形） 粒子组成的液体，其中忽略了流体粒子的变形（ Lukaszewicz 1999）。

微极性流体方程首次由C.A. 埃林根在Migoun （1981）中提出，值得作为非常均衡的模型进行研究。它是经典纳维‐斯托克斯方程的合理推广，在应用和理 论上涵盖了比经典模型更多的物理系统。

多孔介质中的流动是出现在许多工程和科学分支中的 课题，例如土壤科学、地下水水文学、土力学、油藏工程 和化学工程（Bear 1972；Razani2007， 2019）。

西德什瓦尔和克里希纳研究了占据多孔介质的流 体的微极性方程的线性稳定性与非线性稳定性（ Siddheshwar 和 Sri Krish‐ nab 2003）。他们将问题 变形并限制在二维情形。我们考虑三维域中的该方程， 并证明算子是扇形的，因此特征向量可以生成整个空 间。我们还找到了两个决定霍普夫和鞍结的临界参数。

该问题的分岔。然后，我们建立了稳定性交换原理。

在Hsia等人（2008a, b）的研究中，作者关注的是牛 顿流体方程，而本文则聚焦于微极性流体。此外，我们在 本文中研究多孔空间中的问题。Siddheshwar和Sri  Krishnab（2003）研究了多孔介质中的微极性流体，但 他们研究的是一个特殊情况，即假设沿y轴的变化为零点。然而，我们并未对问题施加此类限制，因此我们的研究比 他们的更具一般性。

本文将重点研究多孔介质中扩散对流微极性流体 方程的线性分岔问题。从四个重要的无量纲参数：热 瑞利数（Rm）、溶质瑞利数（g）、普朗特数（r）和 刘易斯数（s）中，选取热瑞利数（Rm）作为分岔参数。

首先，我们计算了该方程的特征值和特征向量， 并证明了该方程的线性部分是扇形的。接着证明了分 岔前静止状态是稳定的，分岔后则不稳定。

本文组织如下：基本控制方程在第2节中给出，主 定理（即线性分岔定理）在第3节中陈述。其余章节致 力于主定理的证明，其中第4节讨论特征值问题，第5 节完成主定理的证明。

2 运动方程

设一个无限水平多孔层 $X = \mathbb{R}^2 \times (0, d)$ 被微极性流体 填充。假设 $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ 为速度场，$\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, x_3)$ 为微旋转场，$T$ 为温度函数，$q$ 为流体的密度函数。则运动方程如下：

$$
\begin{aligned}
q_0 \left( \frac{1}{u} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \frac{1}{u^2} \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} - \nabla p + \rho g \mathbf{k} \right) + \frac{\mu_f + \lambda_f}{K} \mathbf{u} &= (\mu_f + \lambda_f)\Delta \mathbf{u} + \lambda_f \nabla \times \boldsymbol{x}, \
q_0 I \left( \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial t} + \frac{1}{u} \mathbf{u} \cdot \nabla \boldsymbol{x} \right) &= \gamma_0 \Delta \boldsymbol{x} + \lambda_f(\nabla \times \mathbf{u} - 2\boldsymbol{x}) + (\gamma_0 + \kappa_0)\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{x}), \
M \frac{\partial T}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)T &= b \nabla \times \boldsymbol{x} - \nabla T + v_e \Delta T, \
\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0, \
\rho &= \rho_0 [1 - \alpha_T (T - T_0)];
\end{aligned}
\quad (2.1)
$$

其中 $u$ 为孔隙率，$\mu_f$ 为流体粘度，$\lambda_f$ 为多孔介质的有效 粘度，$\lambda_f$ 为耦合粘度，$\gamma_0$ 为体积粘度系数，$\kappa_0$ 为剪切自 旋粘度系数，$b$ 为微极性热传导系数，$C_p$ 为定压比热 容。上述 $K$ 为渗透率，且与 $u$ 之间满足卡曼‐科岑关系：

$$
K = \frac{d^2 p_u^2}{150(1 - u)^2}
$$

其中 $d_p$ 是构成多孔介质的球形颗粒直径。最后，$M$ 是热容量比，$v_e$ 是有效热扩散率，其表达式如下所示：

$$
M = \frac{(1 - u)(\rho c_p) {\text{solid}} + u(\rho c_p) {\text{fluid}}}{(\rho c_p) {\text{fluid}}}, \quad
v_e = \frac{u v {\text{fluid}} + (1 - u)v_{\text{solid}}}{(\rho c_p)_{\text{fluid}}}
$$

方程(2.1)中的其他量具有常规含义。

我们在 $x$ 和 $y$ 方向上考虑周期性边界条件

$$
w(x, y, z) = w\left(x + \frac{2j\pi}{a_1}, y, z, t\right) = w\left(x, y + \frac{2k\pi}{a_2}, z, t\right)
$$

对于任意的 $j,k \in \mathbb{Z}$。

我们在顶部和底部施加自由‐自由边界条件：

$$
(T, u_3, x_1, x_2) = 0, \quad \frac{\partial u_1}{\partial z} = \frac{\partial u_2}{\partial z} = \frac{\partial x_3}{\partial z} = 0, \quad \text{at } z = 0, d.
\quad (2.2)
$$

很自然地施加约束

$$
\int_X u_1 \,dx\,dy\,dz = 0, \quad \int_X u_2 \,dx\,dy\,dz = 0.
\quad (2.3)
$$

对于问题（2.1）–（2.2）。现在我们在以下稳态解附近对 式（2.1）进行扰动：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{u}_b &= (0, 0, 0), \quad \boldsymbol{x}_b = (0, 0, 0), \quad T = T_b(z), \
p &= p_b(z), \quad \rho = \rho_b(z); \
\frac{d p_b}{d z} + \rho_b g &= 0, \quad \frac{d^2 T_b}{d z^2} = 0, \
T_b &= T_0 - (T_0 - T_1) \frac{z}{d}, \
p_b &= p_0 - g \rho_0 z + \frac{\alpha_T}{2}(T_0 - T_1) \frac{z^2}{d}, \
\rho_b &= \rho_0 [1 - \alpha_T (T_b - T_0)] = 1 + \alpha_T (T_0 - T_1) \frac{z}{d}.
\end{aligned}
\quad (2.4)
$$

为此，将以下变量代入式（2.1）：

$$
\mathbf{u} = \mathbf{u}_b + \mathbf{u}’, \quad \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_b + \boldsymbol{x}’, \quad T = T_b + T’, \quad \rho = \rho_b + \rho’, \quad p = p_b + p’
$$

消除撇号后，我们得到以下方程：

$$
\begin{aligned}
q_0 \left( \frac{1}{u} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \frac{1}{u^2} \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) + \nabla p + \rho g \mathbf{k} + \frac{\mu_f + \lambda_f}{K} \mathbf{u} &= (\mu_f + \lambda_f)\Delta \mathbf{u} + \lambda_f \nabla \times \boldsymbol{x}, \
q_0 I \left( \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial t} + \frac{1}{u} \mathbf{u} \cdot \nabla \boldsymbol{x} \right) &= \gamma_0 \Delta \boldsymbol{x} + \lambda_f(\nabla \times \mathbf{u} - 2\boldsymbol{x}) + (\gamma_0 + \kappa_0)\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{x}), \
M \frac{\partial T}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)T &= c(\nabla \times \boldsymbol{x}) - \nabla T + v_e \Delta T + \left( \frac{T_0 - T_1}{d} \right)(u_3 - c_o x x_2 + c_o y x_1), \
\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0, \quad \rho = -\alpha_T \rho_0 T
\end{aligned}
\quad (2.5)
$$

其中 $c := b / (\rho_0 c_v u)$。现在我们通过定义以下无量纲变量 和参数对方程进行无量纲化：

$$
\begin{aligned}
(x^ , y^ , z^ ) &= \left( \frac{x}{d}, \frac{y}{d}, \frac{z}{d} \right), \
t^ &= \frac{t v_e}{M d^2}, \quad \mathbf{u}^ = \frac{\mathbf{u} d}{v_e}, \
p^ &= \frac{p d^2}{v_e (\mu_f + \lambda_f)}, \quad T^ = \frac{T_0}{\Delta T} = \frac{T_0}{T_0 - T_1}, \quad \boldsymbol{x}^ = \frac{\boldsymbol{x} d^2}{v_e}.
\end{aligned}
\quad (2.6)
$$

将上述变量和参数代入方程(2.1)并消除星号后，得到 以下无量纲化方程：

$$
\begin{aligned}
k \Pr \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \frac{1}{\Pr} \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} + \nabla p + D_a \mathbf{u} &= R_m T \mathbf{k} + (N_1 + N_0^1) \Delta \mathbf{u} + N_1 \nabla \times \boldsymbol{x}, \
k N_2 \Pr \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial t} + N_2 \Pr \mathbf{u} \cdot \nabla \boldsymbol{x} &= N_3 \Delta \boldsymbol{x} + N_4 \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{x}) + N_1(\nabla \times \mathbf{u} - 2\boldsymbol{x}), \
\frac{\partial T}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)T &= N_5 (\nabla \times \boldsymbol{x}) - \nabla T + \Delta T + u_3 + N_5 (\nabla \times \boldsymbol{x}) - \mathbf{k}, \
\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0
\end{aligned}
\quad (2.7)
$$

其中

$$
\begin{aligned}
k &= \frac{u}{M}, \quad N_1 = \frac{\lambda_f}{u(\lambda_f + \mu_f)}, \quad N_2 = \frac{I}{d^2}, \
N_3 &= \frac{\gamma_0}{d^2 (\lambda_f + \mu_f) u}, \quad N_4 = \frac{\gamma_0 + \kappa_0}{d^2 (\lambda_f + \mu_f) u}, \
N_5 &= \frac{b u \rho_0 c_v d^2}{}, \quad N_0^1 = \frac{\lambda_0 + \lambda_f}{u (\lambda_f + \mu_f)}, \
\Pr &= \frac{(\lambda_f + \mu_f) u^2}{v_e \rho_0}, \quad D_a = \frac{d^2}{K}, \
R_m &= \frac{\rho_0 \alpha_T (T_0 - T_1) d^3 g}{(\lambda_f + \mu_f) v_e}.
\end{aligned}
\quad (2.8)
$$

3 主要结果

在本节中，我们回顾马和王（2005a，b）引入的稳定性 交换原理（PES）。设 $H$ 和 $H_1$ 是两个希尔伯特空间， 且 $H_1 \hookrightarrow H$ 为紧致稠密嵌入。我们考虑如下非线性发展 方程：

$$
\frac{d w}{d t} = L_{R_m} w + G(w, R_m), \quad w(0) = w_0.
\quad (3.1)
$$

其中 $w: H_1 \to H$ 是未知函数，$R_m \in \mathbb{R}$ 是系统参数，且 $L: H_1 \to H$ 是连续依赖于 $R_m \in \mathbb{R}$ 的参数化线性场，$-L_{R_m} = A + B$。5.1中将证明这些条件在我们的问题中 成立。）

主定理

本文的主要目标可以表述如下：

定理3.1 假设(3.1)的线性部分；$L_{R_m}$ 是扇形算子，并设 $R_c^1$ 由关系式(5.2)定义，且令 $N_1 < 1$ 和 $N_3 > 1$。则当 $R_m < R_c^1$ 时，系统是线性稳定的；当 $R_m > R_c^1$ 时，系统变得不稳定。

4 特征值问题

对应于公式(2.7)的特征值问题可表示如下：

$$
(N_1 + N_0^1)\Delta \mathbf{u} + N_1 \nabla \times \boldsymbol{x} - D_a \mathbf{u} + R_m T \mathbf{k} - \nabla p = \beta \mathbf{u}
\quad (4.1)
$$

$$
N_3 \Delta \boldsymbol{x} + N_1 \nabla \times \mathbf{u} - 2N_1 \boldsymbol{x} + N_4 \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{x}) = \beta \boldsymbol{x}
\quad (4.2)
$$

$$
\Delta T + u_3 + N_5 (\nabla \times \boldsymbol{x}) \cdot \mathbf{k} = \beta T
\quad (4.3)
$$

$$
\nabla \cdot \mathbf{u} = 0.
\quad (4.4)
$$

现在我们按照以下步骤将方程(4.1)–(4.4)用 $u_3$ 表示，并消 去其他变量： 首先将算子 $\nabla \cdot$ 应用于方程(4.1)，我们得到以下方 程：

$$
R_m \frac{\partial T}{\partial z} = \Delta p.
\quad (4.5)
$$

设 $M := N_1 + N_0^1$。然后对方程(4.1)取拉普拉斯算子， 并将(4.5)代入该方程，我们得到以下方程：

$$
(M\Delta - \beta - D_a)\Delta \mathbf{u} + N_1 \Delta (\nabla \times \boldsymbol{x}) + R_m \Delta T \mathbf{k} - R_m \frac{\partial}{\partial z} \nabla T = 0.
\quad (4.6)
$$

在(4.1)上应用旋度算子 $\nabla \times$ 并使用矢量恒等式

$$
\nabla \times \nabla \times \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \Delta \mathbf{A}.
\quad (4.7)
$$

我们得到以下方程：

$$
(M\Delta - \beta - D_a)\nabla \times \mathbf{u} + N_1 \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{x}) - N_1 \Delta \boldsymbol{x} + R_m \nabla \times (T \mathbf{k}) = 0.
\quad (4.8)
$$

将(4.8)乘以 $N_4$ 并将(4.2)乘以 $N_1$，然后相减，我们得到 以下方程：

$$
[(N_1 N_3 + N_1 N_4)\Delta - (2N_1^2 + \beta N_1)]\boldsymbol{x} = (N_4 M \Delta - \beta N_4 - D_a N_4 - N_1^2)\nabla \times \mathbf{u} + R_m N_4 \nabla \times (T \mathbf{k}).
\quad (4.9)
$$

在(4.9)上应用旋度算子 $\nabla \times$ 并利用(4.7)，我们得到以下 方程：

$$
[(N_1 N_3 + N_1 N_4)\Delta - (2N_1^2 + \beta N_1)]\nabla \times \boldsymbol{x} + (N_4 M \Delta - \beta N_4 - D_a N_4 - N_1^2)\Delta \mathbf{u} = R_m N_4 [\nabla(\nabla \cdot (T \mathbf{k})) - \Delta (T \mathbf{k})] = R_m N_4 [\nabla \frac{\partial T}{\partial z} - \Delta T \mathbf{k}].
\quad (4.10)
$$

应用算子热容量比  微极性热传导系数到(4.6)的第三分 量，并利用(4.3)，我们得到：

$$
[(M\Delta - \beta - D_a)(\Delta - \beta)\Delta - R_m (\partial_x^2 + \partial_y^2)]u_3 = [-N_1 (\Delta - \beta)\Delta + R_m N_5 (\partial_x^2 + \partial_y^2)]\nabla \times \boldsymbol{x} \cdot \mathbf{k}.
\quad (4.11)
$$

另一方面，对方程(4.2)应用旋度算子 $\nabla \times$，得到以下方 程：

$$
(N_3 \Delta - 2N_1 - \beta)\nabla \times \boldsymbol{x} = N_1 \Delta \mathbf{u}.
\quad (4.12)
$$

现在对 $(N_3 \Delta - 2N_1 - \beta)$ 应用算子，并利用(4.12)的第 三分量，得到以下方程：

$$
\begin{aligned}
&\left[(N_3 \Delta - 2N_1 - \beta)(M\Delta - \beta - D_a)(\Delta - \beta)\Delta + N_1^2 (\Delta - \beta)\Delta^2 - R_m (\partial_x^2 + \partial_y^2)[(N_3 + N_1 N_5)\Delta - 2N_1 - \beta]\right] u_3 = 0.
\end{aligned}
\quad (4.13)
$$

边界条件允许我们按如下方式分离变量：

$$
\mathbf{w}(x, y, z) = \sum_{j,k=-\infty}^{+\infty} \mathbf{W}_{jk}(z) e^{i(j a_1 x + k a_2 y)}, \quad a_1 = 2\pi L^{-1}_1, \quad a_2 = 2\pi L^{-1}_2,
$$

$$
\mathbf{W} {jk}(z) = (u_1(z), u_2(z), u_3(z), x_1(z), x_2(z), x_3(z), T(z)) {jk}, \quad p_{jk} = p_{jk}(z) e^{i(j a_1 x + k a_2 y)}.
\quad (4.14)
$$

令 $u_3 \neq 0$，然后将 $u_3$ 代入(4.14)到(4.13)中，得到如下边 值问题：

$$
\begin{aligned}
&\left[(N_3 D_{jk} - 2N_1 - \beta)(M D_{jk} - \beta - D_a)(D_{jk} - \beta)D_{jk} + N_1^2 (D_{jk} - \beta)D_{jk}^2 + R_m a_{jk}^2 [(N_3 + N_1 N_5)D_{jk} - 2N_1 - \beta]\right] u_{3,jk} = 0, \
&u_{3,jk} = D_{jk}^2 u_{3,jk} = D_{jk}^4 v u_{3,jk} = D_{jk}^6 u_{3,jk} = 0, \quad \text{at } z = 0, 1 \quad \text{for } j, k \in \mathbb{Z}, \
&u_{3,jk} = U_{3,jk} + i V_{3,jk},
\end{aligned}
\quad (4.15)
$$

其中

$$
D := \frac{d}{dz}, \quad a_{jk}^2 := (j a_1)^2 + (k a_2)^2, \quad D_{jk} := D^2 - a_{jk}^2.
$$

上述线性微分方程的边界条件表明，$u_{3,jk}$ 可以表示为 以下傅里叶级数：

$$
u_{3,jk} = \sum_{l=1}^{+\infty} \tilde{u}_{3,jkl} \sin(l \pi z).
\quad (4.16)
$$

将(4.16)代入(4.15)后，得到以下方程：

$$
\begin{aligned}
&(N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)(M c_J^2 + \beta + D_a)(c_J^2 + \beta)c_J^2 - N_1^2 (c_J^2 + \beta)c_J^4 - R_m a_J^2 [(N_3 + N_1 N_5)c_J^2 + 2N_1 + \beta] = 0, \
&J = (j, k, l), \quad a_J^2 = (j a_1)^2 + (k a_2)^2, \quad c_J^2 = a_J^2 + l^2 \pi^2.
\end{aligned}
\quad (4.17)
$$

方程(4.17) 可重写如下：

$$
\begin{aligned}
\beta^3 &+ [(N_3 + M + 1)c_J^2 + 2N_1 + D_a]\beta^2 \
&+ [(N_3 c_J^2)(N_3 + M) + c_J^2(2N_1 + D_a - N_1^2) - R_m a_J^2 c_J^{-2}]\beta \
&+ (N_3 c_J^2 N_1^2 c_J^4 - R_m a_J^2 c_J^{-2}) = 0.
\end{aligned}
\quad (4.18)
$$

应用算子 $(N_3 \Delta - 2N_1 - \beta)$ 到方程(4.3)并利用(4.12)，我 们得到以下方程：

$$
(N_3 \Delta - 2N_1 - \beta)(\Delta - \beta)T = -((N_1 N_5 + N_3)\Delta - 2N_1 - \beta)u_3.
\quad (4.19)
$$

为了求该方程的特征向量，我们进行变量分离。根据 边界条件，对于 $J = (j,k,l)$

$$
\begin{aligned}
u_1 &= U_1 \cos(a_3 z) e^{i(a_1 x + a_2 y)} \
u_2 &= U_2 \cos(a_3 z) e^{i(a_1 x + a_2 y)} \
u_3 &= U_3 \sin(a_3 z) e^{i(a_1 x_1 + a_2 y)} \
x_1 &= W_1 \sin(a_3 z) e^{i(a_1 x_1 + a_2 y)} \
x_2 &= W_2 \sin(a_3 z) e^{i(a_1 x_1 + a_2 y)} \
x_3 &= W_3 \cos(a_3 z) e^{i(a_1 x_1 + a_2 y)} \
T &= s \sin(a_3 z) e^{i(a_1 x_1 + a_2 y)} \
p &= P \cos(a_3 z) e^{i(a_1 x_1 + a_2 y)}
\end{aligned}
\quad (4.20)
$$

现在我们将引入该方程在以下三种情况下的特征向量
1. $a_2 \neq 0$；$a_3 \neq 0$
2. $a_2 = 0$；$a_3 \neq 0$
3. $a_3 = 0$；$a_2 \neq 0$

一些直接计算表明，在情况2和3中，$\operatorname{Re}(\beta)$ 恒为负数， 因此在这两种情况下不会发生分岔。因此，我们重点关注 最重要的情况，即 $a_2 \neq 0$ 和 $a_3 \neq 0$。为此，应用 $(N_3 D - 2N_1 - \beta)(D - \beta)$ 代入方程(4.6)并利用(4.12)和 (4.19)，我们得到以下方程：

$$
(N_3 D - 2N_1 - \beta)(M D - D_a - \beta) + N_1^2 D \Delta \mathbf{u} = -R_m (N_1 N_5 + N_3)D - 2N_1 - \beta .
\quad (4.21)
$$

现在将 $T$ 和 $u_3$ 从(4.20)代入(4.19)，我们得到如下关系：

$$
s = \frac{(N_1 N_5 + N_3)c_J^2}{(N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)} U_3.
\quad (4.22)
$$

现在将 $u_1,u_2$ 和 $u_3$ 从(4.20)代入(4.21)，我们得到如下关系：

$$
U_1 = \frac{R_m (i a_1 a_3)[(N_1 N_5 + N_3)c_J^2]}{c_J^2 (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)(M c_J^2 + \beta + D_a) - N_1^2 c_J^2} U_3
\quad (4.23)
$$

and

$$
U_2 = \frac{R_m (i a_2 a_3)[(N_1 N_5 + N_3)c_J^2]}{c_J^2 (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)(M c_J^2 + \beta + D_a) - N_1^2 c_J^2} U_3.
\quad (4.24)
$$

现在将 $u_1;u_2$ 和 $u_3$ 代入(4.20)至(4.9)，得到如下关系：

$$
W_3 = \frac{N_4 M c_J^2 + \beta N_4 + D_a N_4 + N_1^2}{N_1[(N_3 + N_4)c_J^2]} U_3
\quad (4.25)
$$

$$
W_1 = \frac{N_1 R_m [(N_1 N_5 + N_3)c_J^2 + 2N_1 + \beta] i a_2}{ (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)(M c_J^2 + \beta + D_a) - N_1^2 c_J^2 (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)} U_3
\quad (4.26)
$$

and

$$
W_2 = -\frac{N_1 R_m [(N_1 N_5 + N_3)c_J^2 + 2N_1 + \beta] i a_1}{ (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)(M c_J^2 + \beta + D_a) - N_1^2 c_J^2 (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)} U_3.
\quad (4.27)
$$

现在我们将上述结果表述为一个引理。首先给出以下定义：

定义4.1

设对于 $j,k \in \mathbb{Z}$ 且 $l \in \mathbb{N}$：

$$
\begin{aligned}
\phi_1^J &:= \left( -a_1 a_3 \sin(a_1 x + a_2 y) \cos a_3 z, -a_2 a_3 \sin(a_1 x + a_2 y) \cos a_3 z, 0, 0, 0, 0, 0 \right)^t \
\phi_2^J &:= \left( 0, 0, \cos(a_1 x + a_2 y) \sin(a_3 z), 0, 0, 0, 0 \right)^t \
\phi_3^J &:= \left( 0, 0, 0, -a_2 \sin(a_1 x + a_2 y) \sin a_3 z, a_1 \sin(a_1 x + a_2 y) \sin a_3 z, 0, 0 \right)^t \
\phi_4^J &:= \left( 0, 0, 0, 0, 0, 0, \cos(a_1 x + a_2 y) \sin a_3 z \right)^t \
\phi_5^J &:= \left( a_1 a_3 \cos(a_1 x + a_2 y) \cos a_3 z, a_2 a_3 \cos(a_1 x + a_2 y) \cos a_3 z, 0, 0, 0, 0, 0 \right)^t \
\phi_6^J &:= \left( 0, 0, \sin(a_1 x + a_2 y) \sin a_3 z, 0, 0, 0, 0 \right)^t \
\phi_7^J &:= \left( 0,
0, 0, a_2 \cos(a_1 x + a_2 y) \sin a_3 z, -a_1 \cos(a_1 x + a_2 y) \sin a_3 z, 0, 0 \right)^t \
\phi_8^J &:= \left( 0, 0, 0, 0, 0, 0, \sin(a_1 x + a_2 y) \sin a_3 z \right)^t
\end{aligned}
$$

引理 4.2

设 $\beta_q^J$ 是 $f_J$ 的一个根，若 $a_1^2 + a_2^2 \neq 0$，$a_3 \neq 0$ 且 $(N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta_q^J)(M c_J^2 + \beta_q^J + D_a) - N_1^2 c_J^2 \neq 0$，则：

(1) 复空间 $H$ 中对应于 $\beta_q^J$ 的特征向量如下：

$$
\mathbf{w}(\beta_q^J) = \left( i a_1 a_3 A_1 \cos a_3 z, i a_2 a_3 A_1 \cos a_3 z, \sin a_3 z, i a_2 A_2 \sin a_3 z, -i a_1 A_2 \sin a_3 z, 0, A_3 \sin a_3 z \right) e^{i(a_1 x + a_2 y)}
$$

其中

$$
A_1(\beta_q^J) := \frac{R_m [(N_1 N_5 + N_3)c_J^2 + 2N_1 + \beta_q^J]}{c_J^2 (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta_q^J)(M c_J^2 + \beta_q^J + D_a) - N_1^2 c_J^2 },
$$

$$
A_2(\beta_q^J) := \frac{N_1 R_m [(N_1 N_5 + N_3)c_J^2 + 2N_1 + \beta_q^J]}{ (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta_q^J)(M c_J^2 + \beta_q^J + D_a) - N_1^2 c_J^2 (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta_q^J)},
$$

$$
A_3(\beta_q^J) := \frac{(N_1 N_5 + N_3)c_J^2 + 2N_1 + \beta_q^J}{(N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta_q^J)(c_J^2 + \beta_q^J)}.
$$

(2) 如果 $\beta_q^J$ 是一个实数，则对应的广义特征向量为：

$$
\mathbf{w}_1(\beta_q^J) = A_1(\beta_q^J)\phi_1^J + \phi_2^J + A_2(\beta_q^J)\phi_3^J + A_3(\beta_q^J)\phi_4^J,
$$

$$
\mathbf{w}_2(\beta_q^J) = A_1(\beta_q^J)\phi_5^J + \phi_6^J + A_2(\beta_q^J)\phi_7^J + A_3(\beta_q^J)\phi_8^J.
$$

(3) 如果 $\operatorname{Im} \beta_q^J \neq 0$，则对应于 $\beta_q^J$ 和 $\overline{\beta_q^J}$ 的广义特征向量如下：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{w}_1(\beta_q^J) &= R_1(\beta_q^J)\phi_1^J + \phi_2^J + R_2(\beta_q^J)\phi_3^J + R_3(\beta_q^J)\phi_4^J - I_1(\beta_q^J)\phi_5^J - I_2(\beta_q^J)\phi_7^J - I_3(\beta_q^J)\phi_8^J, \
\mathbf{w}_2(\beta_q^J) &= I_1(\beta_q^J)\phi_1^J + I_3(\beta_q^J)\phi_3^J + I_3(\beta_q^J)\phi_4^J + R_1(\beta_q^J)\phi_5^J + \phi_6^J + R_2(\beta_q^J)\phi_7^J + R_3(\beta_q^J)\phi_8^J, \
\mathbf{w}_1(\overline{\beta_q^J}) &= R_1(\beta_q^J)\phi_1^J + \phi_2^J + R_2(\beta_q^J)\phi_3^J + R_3(\beta_q^J)\phi_4^J - I_1(\beta_q^J)\phi_5^J - I_2(\beta_q^J)\phi_7^J - I_3(\beta_q^J)\phi_8^J, \
\mathbf{w}_2(\overline{\beta_q^J}) &= I_1(\beta_q^J)\phi_1^J + I_3(\beta_q^J)\phi_3^J + I_3(\beta_q^J)\phi_4^J + R_1(\beta_q^J)\phi_5^J + \phi_6^J + R_2(\beta_q^J)\phi_7^J + R_3(\beta_q^J)\phi_8^J,
\end{aligned}
$$

其中 $A_1 = R_1 + i I_1$, $A_2 = R_2 + i I_2$, $A_3 = R_3 + i I_3$。

5 主定理的证明

现在可以证明本文的主定理，即稳定性交换原理（PES）。在本节中，我们还将证明方程的线性部分是扇形算子。

设 $\beta = 0$ 为(4.17)的零点，则我们有：

$$
R_m = \frac{(N_3 c_J^2 + 2N_1)(M c_J^2 + D_a)c_J^4 - N_1^2 c_J^6}{a_J^2 (N_3 c_J^2 + N_1 N_5 c_J^2 + 2N_1)}.
\quad (5.1)
$$

令

$$
R_c^1 := \min_{J \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{N}} R_m,
$$

则存在 $J_1 \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$，使得

$$
R_c^1 := \frac{(N_3 c_{J_1}^2 + 2N_1)(M c_{J_1}^2 + D_a)c_{J_1}^4 - N_1^2 c_{J_1}^6}{a_{J_1}^2 (N_3 c_{J_1}^2 + N_1 N_5 c_{J_1}^2 + 2N_1)}.
\quad (5.2)
$$

如果存在 $q \neq 0$，使得 $\beta = i q$ 是(4.17)的根，则：

$$
q^2 = (N_3 c_J^2 + 2N_1)(M c_J^2 + D_a) + c_J^4 (N_3 + M) + c_J^2 (2N_1 + D_a - N_1^2) - R_m a_J^2 c_J^{-2} =: g_1,
$$

$$
q^2 = \frac{(N_3 c_J^2 + 2N_1)(M c_J^2 + D_a)c_J^2 - N_1^2 c_J^4 - R_m a_J^2 (N_3 + N_1 N_5 + 2N_1 c_J^{-2})}{(N_3 + M + 1)c_J^2 + 2N_1 + D_a} =: g_2.
$$

当且仅当 $g_1 > 0$ 且 $g_1 = g_2$ 时发生。最后一个条件导出以下方程：

$$
R_m = \frac{A(J)}{a_J^2 (M - N_1 N_5 + D_a c_J^{-2} + 1)},
$$

其中

$$
A(J) := (N_3 c_J^2 + 2N_1)(M c_J^2 + D_a)c_J^2 + [c_J^4 (N_3 + M) + c_J^2 (2N_1 + D_a - N_1^2)][(N_3 + M + 1)c_J^2 + 2N_1 + D_a] - N_1^2 c_J^4.
$$

定义：

$$
R_c^2 := \min_{J \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{N}} \frac{A(J)}{a_J^2 (M - N_1 N_5 + D_a c_J^{-2} + 1)}
\quad (5.3)
$$

并假设最小值在 $J_2$ 处取得，那么 $R_c^2 = R_m$ 当 $J = J_2$ 时。该问题的霍普夫分岔可由 $R_c^2$ 来刻画。现在我们关注 $R_c^1$。令 $R_m = 0$，则方程(4.9)的一个根为 $\beta = -c_J^2$，另外两个根满足以下方程

$$
\beta^2 + \beta (N_3 c_J^2 + 2N_1 + M c_J^2 + D_a) + (N_3 c_J^2 + 2N_1)(M c_J^2 + D_a) - N_1^2 c_J^2 = 0.
$$

由于上述方程的常数项为正，因此该方程的两个根的实部具有相同的符号。现在，若 $N_1 < 1$，根据二次方程的性质以及 $\beta_q^J(R_m)$ 关于 $R_m$ 的连续性，可知存在一个 $\delta > 0$，使得当 $0 \leq R_m < \delta$ 时，有

$$
\operatorname{Re} \beta_q^J(R_m) < 0, \quad q = 1, 2, 3.
$$

为了便于证明PES，我们定义

$$
g_J(\beta) := (N_3 c_J^2 + 2N_1 + \beta)(M c_J^2 + \beta + D_a)(c_J^2 + \beta)c_J^2,
$$

$$
h_J(\beta) := (N_1^2 c_J^4 + R_m a_J^2)\beta + N_1^2 c_J^6 + R_m a_J^2 [(N_3 + N_1 N_5)c_J^2 + 2N_1].
$$

设 $f_J(\beta) := g_J(\beta) - h_J(\beta)$，则方程(4.17)可重写为 $f_J = 0$。$g$ 有三个根 $-(N_3 c_J^2 + 2N_1)$, $-(M c_J^2 + D_a)$ 和 $-c_J^2$。因此，若假设 $\beta_1 < \beta_2 < \beta_3$，则 $g(\beta)$ 是关于 $\beta > \beta_3$ 的增函数，$h$ 的图像是一条直线，其与水平轴和垂直轴的交点（分别为 $b_m$ 和 $h_0(R_m)$）如下：

$$
h(\beta) = 0 \iff \beta = -\frac{N_1^2 c_J^6 + R_m a_J^2 [(N_3 + N_1 N_5)c_J^2 + 2N_1]}{N_1^2 c_J^4 + R_m a_J^2}.
$$

在以下引理中，我们建立了算子 $-L_{R_m}$ 的线性部分的扇形性。

引理5.1

(1) 对于 $J = (j, k, l) \in \mathbb{Z}^2 \times \mathbb{N}$，$f_J(\beta)$ 的所有零点中除了有限个外均为负实数。

(2) $\beta_J \to -\infty$ 如果 $j^2 + k^2 + l^2 \to \infty$。

证明 ：由于 $f_J = g_J - h_J$，$\beta$ 是 $f_J(\beta)$ 的零点当且仅当 $\beta$ 满足该方程

$$
g_J(\beta) = h_J(\beta)
\quad (5.4)
$$

代入 $\beta = c_J^2 \beta^*$ 到(5.4)中，得到

$$
\left(N_3 + \beta^ + \frac{2N_1}{c_J^2}\right)\left(M + \beta^ + \frac{D_a}{c_J^2}\right)(1 + \beta^ ) = \frac{N_1^2 (1 + \beta^ )}{c_J^2} + \frac{R_m a_J^2 (N_3 + N_1 + N_5)}{c_J^6} + \frac{2N_1 + \beta}{c_J^8}.
$$

显然，如果 $(j^2 + k^2 + l^2) \to \infty$，则上述方程右边为零，因此该方程的根在 $-1$, $-N_3$ 或 $-M$ 附近必为负实数，当 $(j^2 + k^2 + l^2)$ 较大时。证明完毕。

此处我们始终假设由关系式（5.2）定义的数 $R_c^1$ 是第一个，且方程组（4.2–4.4）在 $R_c^1$ 附近是单重的。由于在 $R_c^1$ 处，$b = 0$ 是 $f_J$ 的一个根，因此有

$$
(N_3 c_{J_1}^2 + 2N_1)(M c_{J_1}^2 + D_a)c_{J_1}^4 = N_1^2 c_{J_1}^6 + R_c^1 a_{J_1}^2 [(N_3 + N_1 N_5)c_{J_1}^2 + 2N_1].
$$

然后，当 $R_m = R_c^1$ 时，$h(\beta)$ 与 $\beta$ 轴的交点位于以下位置：

$$
b_{c1} = -\frac{(N_3 c_{J_1}^2 + 2N_1)(M c_{J_1}^2 + D_a)c_{J_1}^4}{N_1^2 c_{J_1}^4 + R_c^1 a_{J_1}^2}.
$$

我们知道 $c_{J_1}^2 > 1$ 并假设 $N_3 > 1$；那么，通过以下计算可得 $b_{c1} < -c_{J_1}^2$。事实上，只需证明

$$
(N_3 c_{J_1}^2 + 2N_1)(M c_{J_1}^2 + D_a)c_{J_1}^2 > N_1^2 c_{J_1}^4 + \frac{(N_3 c_{J_1}^2 + 2N_1)(M c_{J_1}^2 + D_a)c_{J_1}^4}{N_3 c_{J_1}^2 + N_1 N_5 c_{J_1}^2 + 2N_1}.
$$

整理得

$$
(N_3 c_{J_1}^2 + 2N_1)(M c_{J_1}^2 + D_a)c_{J_1}^2 \left(1 - \frac{c_{J_1}^2}{N_3 c_{J_1}^2 + N_1 N_5 c_{J_1}^2 + 2N_1}\right) > N_1^2 c_{J_1}^4,
$$

$$
(N_3 c_{J_1}^2 + 2N_1)(M c_{J_1}^2 + D_a)c_{J_1}^2 \left(\frac{N_3 c_{J_1}^2 + N_1 N_5 c_{J_1}^2 + 2N_1 - c_{J_1}^2}{N_3 c_{J_1}^2 + N_1 N_5 c_{J_1}^2 + 2N_1}\right) > N_1^2 c_{J_1}^4.
$$

最后一个不等式由假设 $N_3 > 1$ 成立，因此 $b_{c1} < -c_{J_1}^2$，且 $b_{c1}$ 小于 $g$ 的最大根。现在我们有：

$$
\frac{d}{d R_m} h_0(R_m) = \frac{a_J^2 [(N_3 + N_1 N_5)c_J^2 + 2N_1]}{N_1^2 c_J^4 + R_m a_J^2} > 0.
$$

$h$ 和 $g$ 的图像如下图所示。在每幅图中，如果 $R_m$ 增大，则 $h_0(R_m)$ 也会增大。因此，如果 $R_m > R_c^1$，那么 $h_0(R_m) > h_0(R_c^1)$。在上述每个图中，如果 $R_m$ 增加，则 $h$ 与轴 $\beta = 0$ 的交点也会更大。这完成了主定理的证明。

6 结论

本文研究了多孔介质中的扩散微极性方程，并给出了参数的线性稳定区域。我们的方法最初的构想源自 Hsia 等人（2008a, b）的论文。当然，实现这些想法需要进行大量的修改和创新。事实上，结合这些文章的思想以及我们自己的创新方法，我们得到了三次方程 (4.17)，并通过三阶多项式方程的性质，找到了两个表征该问题的鞍结分岔和霍普夫分岔的临界瑞利数。我们重点关注了鞍结分岔，并证明了分岔发生在 $R_m = R_c^1$ 上，且其线性部分为系统将偏离稳态并变得不稳定。需要注意的是，Hsia 等人（2008a, b）的研究重点是牛顿流体方程，而本文则聚焦于微极性流体。此外，我们在本文中研究多孔介质中的情况。事实上，本文所描述的方程是他们方程的推广，因此如果我们令其中某些参数为零点，则可得到他们在论文中研究的方程。换句话说，他们的方程相较于我们的方程是一种特殊情况。当然，此前已有关于多孔介质中微极性流体分岔理论的研究。例如，如前所述，Siddheshwar 和 Sri Krishnab（2003）研究了这类流体，但他们研究的是一个特殊情况，即假设沿 $y$ 轴的变化为零点。然而，我们并未对问题施加此类限制，因此我们的研究比他们的更具一般性。