编程与算法问题解析及实现-优快云博客

1、假设你正在制作一个袖珍计算器。你已经实现了除“x²”（用于对数字进行平方运算）和“exp”（用于计算底数的整数次幂，即 base^exponent）之外所有按钮的功能。你可以使用计算器通常具备的其他功能，例如“+”“-”“*”“/”“=”。a. 实现“x²”按钮的功能。b. 实现“exp”按钮的功能。

a. 要实现“x²”按钮的功能，可将输入的数字与自身相乘，即使用乘法运算符 * 。例如，若输入数字为 num ，那么 num 的平方可通过 num * num 得到。

b. 要实现“exp”按钮的功能，可使用循环来实现幂运算。设底数为 base ，指数为 exponent （ exponent 为整数），可以通过循环 exponent 次，每次将结果乘以 base 来得到最终结果。若 exponent 为 0，则结果为 1；若 exponent 为负数，则先计算其绝对值的幂运算结果，再取倒数。

2、在法国数学家卡尔·高斯读三年级时，老师想给学生们找点事做。她让全班同学计算前100个数字（1到100）的和。在其他同学还远未完成时，卡尔就举手告诉老师他算出了答案：5050。a. 设计一个算法来计算前n个数字的和（假设n ≥ 1）。当n = 100时，该算法需要多少步完成？当n = 1000时，又需要多少步？b. 能否创建一个像高斯那样步数不依赖于n的算法？

a. 可以设计一个循环算法，从1到n依次累加求和。该算法每累加一个数算一步，所以当n = 100时，需要100步；当n = 1000时，需要1000步。

b. 可以，根据高斯的方法，前n个数字的和可以用公式
$$
n \times (n + 1) / 2
$$
计算，只需要进行乘法、加法和除法各一次，步数不依赖于n。

3、回文是指一个单词或短语，其正读和反读的方式相同，例如“racecar”。请描述一系列步骤，用于确定一个单词或短语是否为回文。

以下是确定一个单词或短语是否为回文的步骤：

去除输入单词或短语中的所有空格和标点符号，并将所有字母转换为小写（如果区分大小写则无需转换），以确保比较的公平性。
记录该字符串的长度。
设置两个指针，一个指向字符串的开头，另一个指向字符串的末尾。
比较两个指针所指向的字符：
- 若相同，则将开头指针向后移动一位，末尾指针向前移动一位，继续比较；
- 若不同，则判定该字符串不是回文，结束流程。
重复步骤4，直到开头指针大于或等于末尾指针。
若在整个比较过程中所有对应字符都相同，则判定该字符串是回文。

4、一家有线电视公司必须用电缆将15户家庭连接起来，使每户家庭都能与其他家庭相连。该公司已估算了不同电缆线路的成本。一位工程师提供了如下算法，用于找出成本最低的线路组合。这位工程师的算法在这种情况下是否可行？为什么可行或不可行？工程师的算法：a. 选择一条尚未被选中的成本最低的电缆线路，将其添加到成本最低的线路集合中。b. 检查是否每户家庭都能通过一系列电缆与其他家庭相连。如果不能，返回步骤1；如果每户家庭都已相连，则已找到成本最低的线路集合。

该算法可行。它每次选择成本最低的线路，逐步构建连接网络，当所有家庭都相连时停止，能保证最终得到的线路集合成本最低。因为优先选择低成本线路，且不断检查连接情况，能在满足连接条件的同时实现成本最小化。

5、将208用二进制和三进制（基数为3）表示。

首先将十进制数转换为二进制数：

用除2取余的方法，将208除以2，取余数，然后将商继续除以2，直到商为0。
208 ÷ 2 = 104 余 0；104 ÷ 2 = 52 余 0；52 ÷ 2 = 26 余 0；26 ÷ 2 = 13 余 0；13 ÷ 2 = 6 余 1；6 ÷ 2 = 3 余 0；3 ÷ 2 = 1 余 1；1 ÷ 2 = 0 余 1。
从下往上读取余数，得到208的二进制表示为 11010000 。