10、机器人微分运动学与静力学详解

机器人微分运动学与静力学详解

在机器人领域，了解关节变量与末端执行器位姿之间的关系至关重要。此前我们已经推导了建立关节变量和末端执行器位姿关系的正逆运动学方程。而在本文中，我们将深入探讨微分运动学，它描述了关节速度与相应的末端执行器线速度和角速度之间的关系。这种映射由一个矩阵来描述，即几何雅可比矩阵，它取决于机器人的构型。

1. 几何雅可比矩阵

考虑一个具有 $n$ 个自由度的机器人，其正运动学方程可以写成如下形式：
[T_e(q) =
\begin{bmatrix}
R_e(q) & p_e(q) \
0^T & 1
\end{bmatrix}
]
其中，$q = [ q_1 \cdots q_n ]^T$ 是关节变量向量。随着 $q$ 的变化，末端执行器的位置和方向都会发生改变。

微分运动学的目标是找到关节速度与末端执行器线速度和角速度之间的关系。也就是说，我们希望将末端执行器的线速度 $\dot{p}_e$ 和角速度 $\omega_e$ 表示为关节速度 $\dot{q}$ 的函数。可以得到如下线性关系：
[\dot{p}_e = J_P(q) \dot{q}]
[\omega_e = J_O(q) \dot{q}]
将上述两式写成紧凑形式：
[v_e =
\begin{bmatrix}
\dot{p}_e \
\omega_e
\end{bmatrix}
= J(q) \dot{q}]
这里的 $(6\times n)$ 矩阵 $J$ 就是机器人的几何雅可比矩阵：
[J =