差分约束
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注意 仅当作自己日后用来复习的笔记
差分约束系统是下面这种形式的多元一次不等式组（每个不等式称为一个约束条件，都是两个未知量之差小于或等于某个常数）
在算法竞赛中，很多题目会给出（或隐性地给出）一系列的不等关系，我们可以尝试把它们转化为差分约束系统来解决。
适用范围
- 求不等式的可行解
- 求最大值或最小值
1. 求不等式的可行解
方程 x i ≤ x j + c k x_{i} \le x_{j} + c_{k} xi≤xj+ck 可以看成 x j → x i x_{j} \rightarrow x_{i} xj→xi 边长为 c k c_{k} ck 的一条边
每一个差分问题都可以转换为一个单源最短路问题 : 将每一个不等式组转换成一条边, 然后求任意一个点的单源最短路求完以后,则必然满足所有的限制条件
注意:
源点应该满足: 从源点出发,可以走到所有的边
求解的步骤
- 先将每个不等式 x i ≤ x j + c k x_{i} \le x_{j} + c_{k} xi≤xj+ck 变成一条从 x j x_{j} xj 到 x i x_{i} xi 长度为 c k c_{k} ck 的一条边
- 找一个点, 使得该源点一定可以遍历到所有的边
- 从源点求一遍单源最短路
- 若存在负环, 则原不等式组一定无解
- 如果无负环, 则
dist[i]就是原不等式组的一个可行解
若图存在负环, 那么这个不等式组是矛盾的(无解)
2.求最小值或者最大值(每个变量的最值)
如果求的是最小值, 则应该求最长路; 如果求的是最大值, 则求的是最短路
必有一个条件是大于或小于常数( x i ≤ c x_{i} \le c xi≤c)
** x i ≤ c x_{i} \le c xi≤c 的转化的方法 **
- 建立一个超级源点,例如0号点.则可以转化为 x i ≤ x 0 + c x_{i} \le x_{0} + c xi≤x0+c 即从 0 0 0 到 x i x_{i} xi 长度为 c c c 的边
原理
以求 x i x_{i} xi 的最大值为例, 求所有从 x i x_{i} xi 出发,构成不等式 x i ≤ x j + c 1 ≤ x k + c 2 + c 1 ≤ . . . ≤ c 1 + c 2 + . . . x_{i} \le x_{j} + c_{1} \le x_{k} + c_{2} + c_{1} \le ... \le c_{1} + c_{2} +... xi≤xj+c1≤xk+c2+c1≤...≤c1+c2+... 所计算出的上届. 最终 x i x_{i} xi 的最大值等于所有上届的最小值
在图中, x i x_{i} xi 的上届等价于从 x 0 x_{0} x0 到 x i x_{i} xi 的路径的最小值
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