整数划分问题动态规划解决 (C++)_c++数的划分-优快云博客

大致内容

将一个整数 $N$ 划分成 $M$ 个数字,使得这 $M$ 个数字的总和为 $N$ 其中, 划分出来的整数可以为 $0$ , 同时不同的排列算一种组合, 求总共能有几个不同的组合

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代码展示

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 15;

int m, n;
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> m >> n;
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            if (i >= j) dp[i][j] += dp[i - j][j];
        }
    cout << dp[m][n] << endl;
    return 0;
}

思路

dp的含义

dp[i][j] 表示总和为i, 分了j个数字的所有的方案

划分的依据

划分的依据是整个划分的数字中,最小的数字是否为 $0$

状态转移方程

通过这个划分,可以将左右的组合划分成两部分,一部分为在这个组合中最小值为0, 另一部分则是最小值不是0

由于删去0以后对这部分的组合数量不影响,所以可以将0删去, 所以划分了j - 1个,由于删去0以后对剩余的数的总和不影响, 所以此时的dp表示为 dp[i][j - 1]

对于不是0的部分, 将组合中的数全部同时减1以后, 该组合的数量和没有减1以后的组合的数量相同, 所以可以减1. 此时, 所有的数的总和为 i - j, 由于只是减1, 所以划分的数量不变, 为j, 此时的dp表示为 dp[i - j][j]

所以状态转移方程则是
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j]

初始化

当拆分0的时候,总共能拆分0次,那么就有一种拆分方法,则是什么都不拆
dp[0][0] = 1

第二种算法

用完全背包的思路来做
(代码仅供参考)

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n;
int dp[N];       // 总从前i个数中选,总数为j的方案

int main() {
	cin >> n;
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i; j <= n; j++)
			dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % mod;
	cout << dp[n] << endl;
	return 0;
}