并查集

最新推荐文章于 2024-08-19 22:30:22 发布

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本文深入探讨并查集的概念、基本操作、优化方法及其实现细节，包括路径压缩和按秩合并，通过代码示例展示如何高效地使用并查集解决实际问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

l 并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

l 并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图

l 并查集的优化

1、Find_Set(x)时路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

l 主要代码实现

Code
1 int father[MAX];
2 int rank[MAX];
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6 void Make_Set(int x)
7 {
8 father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化
9 rank[x] = 0; //根据实际情况初始化秩也有所变化
10 }
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14 int Find_Set(int x)
15 {
16 if (x != father[x])
17 {
18 father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华
19 }
20 return father[x];
21 }
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29 void Union(int x, int y)
30 {
31 x = Find_Set(x);
32 y = Find_Set(y);
33 if (x == y) return;
34 if (rank[x] > rank[y])
35 {
36 father[y] = x;
37 }
38 else
39 {
40 if (rank[x] == rank[y])
41 {
42 rank[y]++;
43 }
44 father[x] = y;
45 }
46 }
47

另外，我认为写并查集时涉及到的路径压缩，最好用递归，一方面代码的可读性非常好，另一方面，可以更直观的理解路径压缩时在回溯时完成的巧妙。