CCF-NOIP-2018 提高组（复赛）模拟试题 楼梯问题

CCF-NOIP-2018 提高组（复赛）模拟试题 楼梯问题

[Question Description]

​ 一层楼共有 n 级台阶，一次可以上至少 1 级但**不超过** m 级台阶，求有多少种不同的上楼方案数。由于结果可能很大，你只需要输出结果对 10,007 取模的值即可。

[Input Format]

输入数据只有一行，包含两个正整数 n 和 m。

[Output Format]

一个整数，表示所求结果对 10,007 取模的值。

[Sample Input 1]

4 3

[Sample Output 1]

7

[Sample Explanation 1]

共有 7 种不同的上楼梯方案，分别为：

1. 第 1 步上 1 级，第 2 步上 1 级，第 3 步上 1 级，第 4 步上 1 级。
2. 第 1 步上 1 级，第 2 步上 1 级，第 3 步上 2 级。
3. 第 1 步上 1 级，第 2 步上 2 级，第 3 步上 1 级。
4. 第 1 步上 2 级，第 2 步上 1 级，第 3 步上 1 级。
5. 第 1 步上 2 级，第 2 步上 2 级。
6. 第 1 步上 1 级，第 2 步上 3 级。
7. 第 1 步上 3 级，第 2 步上 1 级。

[Sample Input 2]

1024 5

[Sample Output 2]

8590

[Data Scale And Agreement]

测试点编号	n的规模	m的规模
1	1$\le$n$\le$ 10	m = 1
2	1$\le$n$\le$ 10	m = 1
3	1$\le$n$\le$ 10	m = 1
4	1$\le$n$\le$ 10	m = 1
5	1$\le$n$\le$ 10	m = 2
6	1$\le$n$\le$ 10	m = 2
7	1$\le$n$\le$ 10	m = 2
8	1$\le$n$\le$ 10	m = 2
9	1$\le$n$\le$ 10	m = 3
10	1$\le$n $\le$ 10	m = 3
11	1 ≤ n ≤ 10,000	2 ≤ m ≤ 10
12	1 ≤ n ≤ 10,000	2 ≤ m ≤ 10
13	1 ≤ n ≤ 100,000	2 ≤ m ≤ 10
14	1 ≤ n ≤ 100,000	2 ≤ m ≤ 10
15	n = 233,333,333	m = 5
16	n = 666,666,666	2 ≤ m ≤ 5
17	$1$ ≤ n ≤ $10^9$	m=2
18	$1$ ≤ n ≤ $10^{12}$	m=2
19	1 ≤ n ≤ $10^{15}$	2 ≤ m ≤ 10
20	1 ≤ n ≤ $10^{18}$	2 ≤ m ≤ 10

---

[Solution]

Emmm… 这道题被加强了又加强，开始是只能踏一或二步，后来可以踏一到m步，但数据没有这么变态，现在魔改数据真tm加强的炉火纯青

70~80分做法

可得递推式为$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+...+F_{n-m}$

双重循环递推，第十五和十六测试点打表

100分做法

真牛逼

递推是不行滴

矩阵乘法好处大，谁说对了谁用它

构造矩阵加速递推，式子同上:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=10007;
int n,m;
struct matrix
{
	int mat[20][20];
	matrix operator *(const matrix &B)
	{
		matrix res;
		memset(res.mat,0,sizeof res.mat);
		for(int i=1;i<=m;i++)
			for(int j=1;j<=m;j++)
				for(int k=1;k<=m;k++) res.mat[i][j]=(res.mat[i][j]+mat[i][k]*B.mat[k][j])%mod;
		return res;
	} 
}tmp,ans;
matrix qpow(matrix a,int b)
{
	matrix rs;
	memset(rs.mat,0,sizeof rs.mat);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)	if(i==j) rs.mat[i][j]=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) rs=rs*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return rs;
}
int main()
{
	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		tmp.mat[i][m]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++) tmp.mat[i][i-1]=1;
	
	ans.mat[1][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=0;j<i;j++) ans.mat[1][i]=ans.mat[1][i]+ans.mat[1][j]%mod;		
	ans=ans*qpow(tmp,n-1);
	printf("%d",ans.mat[1][1]);
	return 0;
}