严蔚敏数据结构学习笔记七：图_拓扑排序-优快云博客

在广度优先搜索的基础上求图中两结点的最短路径需
1,将链队列的结点改为“双链”结点，即结点中包含next和priou两个指针；
2，修改入队列的操作，插入新的队尾结点时，令其priou域的指针指向刚刚出队列的结点，即当前的队头指针所指结点；
3，修改出队列的操作，出队列时，仅移动队头指针，而不将队头结点从链表中删除。

由于普里姆算法的时间复杂度为O( N的平方)，则适于稠密图；而克鲁斯卡尔算法需对e条边按权值进行排序，其时间复杂度为o(eloge)，则适于稀疏图。

7.5重（双）连通图和关节点
若从一个连通图中删去任何一个顶点及其相关联的边，它仍为一个连通图的话，则该连通图被称为重（双）连通图。
若连通图中的某个顶点和其相关联的边被删去之后，该连通图被分割成两个或两个以上的连通分量，则称此顶点为关节点。
没有关节点的连通图为双连通图。

关节点的特征：
    假设从某个顶点V出发对连通图进行深度优先搜索遍历，则可得到一棵深度优先生成树，树上包含图的所有顶点。
    若生成树的根结点，有两个或两个以上的分支，则此顶点（生成树的根）必为关节点；
    对生成树上的任意一个“顶点”，若其某棵子树的根或子树中的其它“顶点”没有和其祖先相通的回边，则该“顶点”必为关节点。

如何求关键点：
1)对根结点来说深度优先遍历看count是否小于结点数，如果小于则该根结点为关节点。
2)对生成树上的顶点定义一个函数：
low(v)=Min{visited[v],low[w],visited[k]}（k为和v有回边相通的顶点）
对顶点v，若（在生成树上）存在一个子树根w,且low[w]>=visited[v]则顶点v为关节点
对深度优先遍历算法作如下修改：
1，visited[v]的值改为遍历过程中顶点的访问次序count值
2,遍历过程中求得
low(v)=Min{visited[v],low[w],visited[k]}
3,从子树遍历返回时判别low[v]是否>=visited[v]

7.6两点之间的最短路径问题
从源点到其余各点的最短路径
算法的基本思想：
依路径长度递增的次序求得各条路径

7.7拓扑排序
如何进行拓扑排序
一，从有向图中选取一个没有前驱的顶点(入度为零的顶点)，并输出之；
二，从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧（弧头顶点的入度减1）；
重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。

如何求关键活动
“事件（顶点）”的最早发生时间ve(j)=从源点到顶点的最长路径长度；
“事件”的最迟发生时间vl(k)=从顶点k到汇点的最短路径长度；
假设第i条弧为<j,k>则第i项“活动弧“的最早开始时间ee(i)=ve(j);
"活动（弧）"的最迟开始时间el(i)=vl(k)-dut(<j,k>);

算法的实现要点：
求ve的顺序应该是按拓扑有序的次序；而求vl的顺序应该是按拓扑逆序的次序；拓扑逆序序列即为拓扑有序序列的逆序列，因此应该在拓扑排序的过程中，另设一个“栈”记下拓扑有序序列。