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一、查找的原理
1.1 查找概念
- 设记录表L=(R1 R2……Rn)，其中Ri(l≤i≤n)为记录，对给定的某个值k，在表L中确定key=k的记录的过程，称为查找。
- 若表L中存在一个记录Ri的key=k，记为Ri.key=k，则查找成功，返回该记录在表L中的序号i(或Ri 的地址)，否则(查找失败)返回0(或空地址Null)。
1.2 查找方法
查找方法有顺序查找、折半查找、分块查找、Hash表查找等等。查找算法的优劣将影响到计算机的使用效率，应根据应用场合选择相应的查找算法。
1.3平均查找长度
对查找算法，主要分析其T(n)。查找过程是key的比较过程，时间主要耗费在各记录的key与给定k值的比较上。比较次数越多，算法效率越差（即T(n)量级越高），故用“比较次数”刻画算法的T(n)。
一般以“平均查找长度”来衡量T(n)。
- 平均查找长度ASL（Average Search Length）：对给定k，查找表L中记录比较次数的期望值(或平均值)，即：
（1-1）
为查找
的概率。等概率情况下
；
为查找
1.4顺序表的查找
顺序表，是将表中记录
……
按其序号存储于一维数组空间
记录
typedef struct
{ keytype key; //记录key
…… //记录其他项
} Retype;
顺序表类型描述如下:
#define maxn 1024 //表最大长度
typedef struct
{ Retype data[maxn]; //顺序表空间
int len; //当前表长，表空时len=0
} sqlist;
若说明：sqlist r，则（r.data[1]，……，r.data[r.len]）为记录表(R1……Rn)， Ri.key为r.data[i].key, r.data[0]称为监视哨，为算法设计方便所设。
1.5 顺序表的查找算法及分析
算法思路 设给定值为k，在表(R1 R2……Rn)中，从Rn开始，查找key=k的记录。
int sqsearch(sqlist r, keytype k)
{ int i;
r.data[0].key = k; //k存入监视哨
i = r.len; //取表长
while(r.data[i].key != k) i--;
return (i);
}
设Ci(1≤i≤n)为查找第i记录的key比较次数(或查找次数)：
若r.data[n].key = k， Cn=1；
若r.data[n-1].key = k， Cn-1=2；
……
若r.data[i].key = k， Ci=n-i+1；
……
若r.data[1].key = k， C1=n
- 故ASL = O(n)。而查找失败时，查找次数等于n+l，同样为O(n)。
- 对查找算法，若ASL=O(n)，则效率是很低的，意味着查找某记录几乎要扫描整个表，当表长n很大时，会令人无法忍受。
1.6 折半查找算法及分析
算法思路
对给定值k，逐步确定待查记录所在区间，每次将搜索空间减少一半(折半)，直到查找成功或失败为止。
设两个游标low、high，分别指向当前待查找表的上界(表头)和下界(表尾)。mid指向中间元素。
图片来源于makeru.com 
图片来源于makeru.com
具体代码如下:
int Binsearch(sqlist r, keytype k) //对有序表r折半查找的算法 { int low, high, mid; low = 1;high = r.len; while (low <= high) { mid = (low+high) / 2; if (k == r.data[mid].key) return (mid); if (k < r.data[mid].key) high = mid-1; else low = mid+1; } return(0); }
不失一般性，设表长n=2h-l，h=log2(n+1)。记录数n恰为一棵h层的满二叉树的结点数。得出表的判定树及各记录的查找次数如图所示。
图片来源于makeru.com
1.7 分块查找算法及分析
分块
设记录表长为n，将表的n个记录分成
个块，每块s个记录（最后一块记录数可以少于s个），即：
图片来源于makeru.com 且表分块有序，即第i（1≤i≤b-1）块所有记录的key小于第i+1块中记录的key，但块内记录可以无序。
- 建立索引
- 每块对应一索引项：
- 其中kmax为该块内记录的最大key；link为该块第一记录的序号（或指针）。
图片来源于makeru.com
1.8 总结
- 顺序、折半、分块查找和树表的查找中，其ASL的量级在O(n)～O(log2n)之间。
- 不论ASL在哪个量级，都与记录长度n有关。随着n的扩大，算法的效率会越来越低。
- ASL与n有关是因为记录在存储器中的存放是随机的，或者说记录的key与记录的存放地址无关，因而查找只能建立在key的“比较”基础上。
二、Hash表原理
2.1 Hash表的查找
理想的查找方法是：对给定的k，不经任何比较便能获取所需的记录，其查找的时间复杂度为常数级O(C)。
这就要求在建立记录表的时候，确定记录的key与其存储地址之间的关系f，即使key与记录的存放地址H相对应：
当要查找key=k的记录时，通过关系f就可得到相应记录的地址而获取记录，从而免去了key的比较过程。
这个关系f就是所谓的Hash函数（或称散列函数、杂凑函数），记为H(key)。
它实际上是一个地址映象函数，其自变量为记录的key，函数值为记录的存储地址（或称Hash地址）。
- 不同的key可能得到同一个Hash地址，即当keyl≠key2时，可能有H(key1)=H(key2)，此时称key1和key2为同义词。这种现象称为“冲突”或“碰撞”，因为一个数据单位只可存放一条记录。
- 一般，选取Hash函数只能做到使冲突尽可能少，却不能完全避免。这就要求在出现冲突之后，寻求适当的方法来解决冲突记录的存放问题。
根据选取的Hash函数H(key)和处理冲突的方法，将一组记录(R1 R2……Rn)映象到记录的存储空间，所得到的记录表称为Hash表，如图：
图片来源于makeru.com
选取（或构造）Hash函数的方法很多，原则是尽可能将记录均匀分布，以减少冲突现象的发生。以下介绍几种常用的构造方法。
- 直接地址法
- 平方取中法
- 叠加法
- 保留除数法
- 随机函数法
2.2 保留除数法
又称质数除余法，设Hash表空间长度为m，选取一个不大于m的最大质数p，令： H(key)=key%p。
设记录的key集合k={28，35，63，77，105……}，若选取p=21=3*7（包括质数因子7），有：
key：28 35 63 77 105 ……
H(key)=key%21： 7 14 0 14 0 ……
使得包含质数因子7的key都可能被映象到相同的单元，冲突现象严重。
若取p=l9（质数），同样对上面给定的key集合k，有：
key：28 35 63 77 105
H(key)=key%19： 9 16 6 1 10
H(key)的随机度就好多了。
2.3 处理冲突的方法
选取随机度好的Hash函数可使冲突减少，一般来讲不能完全避免冲突。设Hash表地址空间为0～m-l（表长为m）：
图片来源于makeru.com 冲突是指：表中某地址j∈[0，m-1]中己存放有记录，而另一个记录的H(key)值也为j。
- 处理冲突的方法一般为：在地址j的前面或后面找一个空闲单元存放冲突的记录，或将相冲突的诸记录拉成链表。
- 在处理冲突的过程中，可能发生一连串的冲突现象，即可能得到一个地址序列H1、H2……Hn，Hi∈[0，m-l]。H1是冲突时选取的下一地址，而H1中可能己有记录，又设法得到下一地址H2……直到某个Hn不发生冲突为止。这种现象称为“聚积”，它严重影响了Hash表的查找效率。
- 冲突现象的发生有时并不完全是由于Hash函数的随机性不好引起的，聚积的发生也会加重冲突。
- 还有一个因素是表的装填因子α，α=n/m，其中m为表长，n为表中记录个数。一般α在0.7～0.8之间，使表保持一定的空闲余量，以减少冲突和聚积现象。
2.3 开放地址法
当发生冲突时，在H(key)的前后找一个空闲单元来存放冲突的记录，即在H(key)的基础上获取下一地址：
Hi=(H(key)+di)%m
其中m为表长，%运算是保证Hi落在[0，m-l]区间；
di为地址增量。di的取法有多种：
（1）di=1，2，3，……(m-1)——称为线性探查法；
（2）di=12，-12，22，-22，……——称为二次探查法。
设记录的key集合k={23，34，14，38，46，16，68，15，07，31，26}，记录数n=11。
令装填因子α=0.75，取表长m= én/αù =15。
用“保留余数法”选取Hash函数（p=13）：
H(key)=key%13
图片来源于makeru.com
2.4 链地址法
发生冲突时，将各冲突记录链在一起，即同义词的记录存于同一链表。
设H(key)取值范围（值域）为[0，m-l]，
建立头指针向量HP[m]，
HP[i]（0≤i≤m-l）初值为空。
设H(key)=key%13
k={ 23，34，14，38，46，
16，68，15，07，31，26 }
图片来源于makeru.com 链地址法解决冲突的优点：无聚积现象；删除表中记录容易实现。
三、Hash表的实现
3.1 创建
// 定义一个名为hash_create的函数，它返回一个指向hash结构体的指针
hash *hash_create(){
// 声明一个名为HT的指针，用于指向新创建的hash结构体
hash * HT;
// 使用malloc函数为hash结构体分配内存，并将返回的地址赋值给HT
// 这里的(hash *)是强制类型转换，确保malloc返回的void*被正确转换为hash*
if((HT = (hash *)malloc(sizeof(hash))) == NULL){
// 如果内存分配失败（即malloc返回NULL），则打印错误信息
printf("malloc failed!\n");
// 并返回NULL，表示创建失败
return NULL;
}
// 使用memset函数将HT指向的内存区域初始化为0
// 这通常是为了确保hash结构体中的所有成员都被正确地初始化为默认值（对于整数和指针，通常是0）
memset(HT, 0, sizeof(hash));
// 返回新创建的并已经初始化的hash结构体的地址
return HT;
}3.2 插入和查找
插入
// 假设datatype是键的数据类型，hash是哈希表结构体的指针，linklist是链表节点的指针类型
// listnode是链表节点的结构体类型，HT->data是哈希表存储的链表数组，N是哈希表的大小
int hash_insert(hash *HT, datatype key){
// 检查哈希表是否为空
if(HT == NULL){
printf("HT is NULL\n");
return -1; // 返回-1表示哈希表为空，插入失败
}
// 声明两个链表节点的指针，p用于新节点，q用于遍历链表
linklist p, q;
// 为新节点分配内存
if((p = (linklist)malloc(sizeof(listnode))) == NULL){
printf("malloc failed!\n");
return -1; // 返回-1表示内存分配失败
}
// 初始化新节点的key和value（这里value被简单设置为key对N取模的值，可能是哈希值或链表索引）
p->key = key;
p->value = key % N; // 注意：这里的value可能不是真正的值，而是用于链表排序或索引的
p->next = NULL; // 初始化新节点的next指针为NULL
// 计算哈希值，确定在哈希表的哪个位置插入新节点
// 假设HT->data是一个链表数组，其索引由key % N确定
q = &HT->data[key % N]; // q指向对应链表的头部
// 遍历链表，找到新节点应该插入的位置（保持链表有序或按某种规则插入）
// 这里假设链表是按键值key升序排列的
while(q->next && q->next->key < p->key){
q = q->next; // q向后移动，直到找到空位置或遇到比p->key大的节点
}
// 将新节点p插入到链表中的正确位置
p->next = q->next; // 新节点的next指向q原本指向的下一个节点
q->next = p; // q的next指向新节点p
// 插入成功，返回0
return 0;
}
查找
linklist hash_search(hash *HT, datatype key){
// 检查哈希表是否为空
if(HT == NULL){
printf("HT is NULL\n");
return NULL; // 如果哈希表为空，则返回NULL
}
// 声明链表节点的指针p，用于遍历链表
linklist p;
// 计算哈希值，确定在哈希表的哪个位置查找
p = &HT->data[key % N]; // p指向对应链表的头部
// 遍历链表，查找具有给定key的节点
while(p->next && p->next->key != key){
p = p->next; // 如果当前节点的下一个节点存在且key不匹配，则移动到下一个节点
}
// 检查是否找到了匹配的节点
if(p->next == NULL){
// 如果没有找到（即p->next为NULL），则返回NULL
return NULL;
}
else{
// 如果找到了，打印一条消息
printf("found!\n");
}
// 返回找到的节点的指针（注意：是p->next，因为p指向的是链表头部的指针）
return p->next;
}
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