大话数据结构-普里姆算法（Prim）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal）

5 最小生成树

  构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树，即Minimum Cost Spanning Tree，最小生成树通常是基于无向网/有向网构造的。

  找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

5.1 普里姆（Prim）算法

  普里姆算法，即Prim算法，大致实现过程如下：

  (1) 新建数组adjVex[n]，初始值均为0；新建数组lowCost[n]，初始值均为infinity；

  (2) 从第一个顶点X（下标为0）开始，把它与各顶点连接的权记录下来，放到lowCost数组里面，然后找到权最小的那个顶点Y，得到最小生成树的第一条边(X,Y)，然后把lowCost数组里面Y对应的下标的元素设置为0；

  (3) 然后处理顶点Y，把它与除X外的其他各顶点连接的权，与lowCost数组下标相同的权比较，将小的放入到lowCost里面，并把较小的权对应的顶点的下标记录在adjVex数组里面，也即，adjVex[j]要么是Y，要么是除X外的其他顶点；

  (4) 找到lowCost数组中权最小的那个（显然不会是X，也不会是Y），得到最小生成树的第二条边(adjVex[j],j)，然后把lowCost[j]设置为0；

  (5) 然后按(3)、(4)的规则，处理第j个顶点，直到所有顶点都被连接起来（注意，最小连通树是针对连通网的）；

  下面我们会根据各种存储方式进行举例。

5.1.1 邻接矩阵的最小生成树

  假设有以下无向网：

  我们定义两个数组，一个X={}，Y={V0、v1、v2、v3、v4、v5、v6、v7、v8}，其中X表示已连通的顶点，Y表示未连通的顶点。

  先从第一个顶点v0开始，把它加入X，表示已连通，这时，X={v0}，Y={v1、v2、v3、v4、v5、v6、v7、v8}。

  接下来，看X中的V0与其他顶点关联时权值情况，发现(v0,v1)的权值最小，因此认为，v0和v1是最小生成树的一个边，此时X={v0、v1}，Y={v2、v3、v4、v5、v6、v7、v8}：

  然后，再看X中的所有顶点与Y中的所有顶点的权值，发现边现(V0,v5)之间的权值最小，因此认为(V0,v5)是最小生成树的一条边，此时X={v0、v1、v5}，Y={v2、v3、v4、v6、v7、v8}：

  然后，再看X中的所有顶点与Y中的所有顶点的权值，发现边现(V1,v8)之间的权值最小，因此认为(V1,v8)是最小生成树的一条边，此时X={v0、v1、v5、v8}，Y={v2、v3、v4、v6、v7}：

  然后，再看X中的所有顶点与Y中的所有顶点的权值，发现边现(V8,v2)之间的权值最小，因此认为(V8,v2)是最小生成树的一条边，此时X={v0、v1、v5、v8、v2}，Y={v3、v4、v6、v7}：

  然后，再看X中的所有顶点与Y中的所有顶点的权值，发现边现(V1,v6)之间的权值最小，因此认为(V1,v6)是最小生成树的一条边，此时X={v0、v1、v5、v8、v2、v6}，Y={v3、v4、v7}：

  然后，再看X中的所有顶点与Y中的所有顶点的权值，发现边现(V6,v7)之间的权值最小，因此认为(V6,v7)是最小生成树的一条边，此时X={v0、v1、v5、v8、v2、v6、v7}，Y={v3、v4}：

  然后，再看X中的所有顶点与Y中的所有顶点的权值，发现边现(V7,v4)之间的权值最小，因此认为(V7,v4)是最小生成树的一条边，此时X={v0、v1、v5、v8、v2、v6、v7、v4}，Y={v3}：

  然后，再看X中的所有顶点与Y中的所有顶点的权值，发现边现(V7,v3)之间的权值最小，因此认为(V7,v3)是最小生成树的一条边，此时X={v0、v1、v5、v8、v2、v6、v7、v4、v3}，Y={}：

  这时，Y已处理完毕，所有顶点都连起来了，形成了最小生成树。

  观察一下，我们在获取最小生成树的边时，第一步是从arc[0][j]取权最小的，取到了(v0,v1)，第二步，是从arc[0][j]和arc[1][j]中取权值最小的，取到了(v0,v5)，第三步，是从arc[0][j]、arc[1][j]和arc[5][j]中取权最小的，取到了(v1,v8)，也即，规则是：

  (1) 从arc[0][j]中取最小权对应的边(v0,v1)，此时X={v0}，把v1加入到X中；

  (2) 从arc[0][j]、arc[1][j]中取最小权对应的边(v0,v5)，此时X={v0,v1}，把v5加入到X中；

  (3) 从arc[0][j]、arc[1][j]、arc[5][j]中取最小权对应的边(v1,v8)，此时X={v0,v1,v5}，把v8加入到X中；

  (4) 从arc[0][j]、arc[1][j]、arc[5][j]…arc[x][j]中取最小权对应的边(vi,vk)，然后判断vi和vk是否在X中，不在则加入到X中；

  当在arc[0][j]、arc[1][j]、arc[5][j]…arc[x][j]中取最小的权时，我们要比较x个一元数组的值，我们再做一下优化：

  (1) 从arc[0][j]中取最小权对应的边(v0,v1)，此时X={v0}，把v1加入到X中；

  (2) 从arc[0][j]、arc[1][j]中取最小权对应的边(v0,v5)，此时X={v0,v1}，把v5加入到X中，然后我们把arc[0][j]、arc[1][j]组合一下，取出arc[0][j]、arc[1][j]中较小的权放到lowCost[j]里面，同时使用一个数组adjVex[j]记录lowCost[j]对应的起始顶点下标，同时标注lowCost[0]、lowCost[1]的值为负无穷大，如下：

  (3) 这时，只需要从lowCost[j]、arc[5][j]中取最小权对应的边就行了，不用再迭代arc[0][j]和arc[1][j]；

  因此，我们定义两个数组，lowCost[n]表示已处理过的顶点跟其他顶点之间的权值最小值列表，其中已处理过的顶点之间的权值设置为负无穷大，adjVex[n]表示最小权值对应的起始顶点，我们重新来看看上述无向网。

  第一步，定义lowCost[n]和adjVex[n]，adjVex[n]默认值为0，lowCost[n]默认值为负无穷大：

  接下来处理第一个顶点，找到第一个顶点与其他顶点中权值最小的那条边（自身除外），具体做法是，令adjVex[n]的元素均为0，令lowCost[n]的元素值为arc[0][j]，然后找到权值最小的arc[0][x]，取边(adjVex[x],x)，即(v0,v1)：

  接下来，要比较的应是arc[0][j]和arc[1][j]中，除arc[0][0]、arc[0][1]、arc[1][0]和arc[1][1]外的其他值，取最小值，因为我们要取的是“其他顶点与顶点v0、v1中权值最小的边”，因此我们把arc[1][j]与lowCost[n]（这时，lowCost即为arc[0][j]）比较，把较小的写入到lowCost中，同时把较小权对应对应的顶点下标写入到adjVex[n]中，如下：

  如上可知，arc[1][2]小于lowCost[2]，因此令lowCost[2]=arc[1][2]、adjVex[2]=1，arc[1][6]和arc[1][8]也相似处理。

  然后，我们取出其中的最小权，得到下一条最小生成树的边，即(v0,v5)：

  接下来，是取得顶点v0、v1、v5与其他顶点的权中的最小值，生成下一条边，整体处理方式与上文类似：

  后续操作也类似，直到所有顶点处理完毕，得到最小生成树。

  让我们来看有向网的处理，按上述过程处理，得到以下结果：

  即：

  但注意观察，同样是连通B顶点，弧<B,A>实际上比<C,B>权小，所以最小生成树应该为：

  因此，有向树的最小生成树生成过程中，不仅要看“顶点X指向的顶点中权最小的”，还要看“顶点X被指向的顶点中权最小的”。

  因此，寻找最低代码的边/弧的逻辑应是“找到该顶点指向的即该顶点被指向的顶点中，代价最小的边或弧”，对于无向网当然这两个概念是一样的，但对于有向网，则要进行双向处理，因此上述有向网的处理逻辑有所不同。

  以以上有向网为例，第一步，定义三个数组：lowCost与无向网相同，tailVex和headVex代替adjVex，分别表示箭头的尾巴和头（若为无向网则尾巴和头可以任意），初始化tailVex和headVex为0，lowCost为无穷大：

  然后使用arc[0][j]和a