4.牛顿法和拟牛顿算法

1.     我们用一个图来解释扭断算法的基本实现：

由图中可知：

更一般地：

这就是牛顿法的一次迭代。现在这个算法可以得到一个值，使得 ;

2. 上面论述的是牛顿法的几何意义，下面我们从代数的角度来论述下牛顿法：
考虑无约束最优化问题：

                      （B,1）

其中为目标函数的极小值

假设f(x)具有二阶连续导数，若第k次迭代值为,这可以将f(x)在附近进行二次泰勒展开。

                     (B.2)

这里， 是f(x)的梯度向量在的值，H()是f(x)的Hessian矩阵:

                                (B.3)

在点 的值，函数f(x)有极值的必要条件是在极值点处有一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H()是正定矩阵时，函数f(x)的极值为极小值。

在点 的值，函数f(x)有极值的必要条件是在极值点处有一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H()是正定矩阵时，函数f(x)的极值为极小值。

牛顿法利用极小值点的必要条件：

      (B.4)

每次迭代中从点 开始，求目标函数的极小值，作为第k+1次迭代值，具体地，假设满足：

(B.5)

由（B.2）有：

既有

(B.6)

其中，这样，由(B.6)可知

 (B.7)

所以，  (B.8)

或者 （B.9）

其中，（B.10）

用式（B.8）作为迭代公式的算法就是牛顿法。

拟牛顿法的思路

在牛顿法的迭代中，需要计算Hessian矩阵的逆矩阵,这一计算比较复杂，考虑用一个n阶矩阵来近似替代,这既是拟牛顿的基本想法。

       根据（B.6）我们知道：

又因为：

所以：

则：

(B.11)

记, ,则：

(B.12)

(B.13)

(B.12)或(B.13)称为拟牛顿条件。

如果 是正定的（），那么可以保证牛顿法搜索方向是下降方向，这是因为搜索方向是，其中 ,由式（B.8）有：

(B.14)

所以f(x)在处的泰勒展开式（B.2）可以近似写成：

                        ( B.15）

因为是正定的。故有.当是一个充分小的正数时，总有 也就是说是下降方向。

拟牛顿法将作为的近似，要求矩阵满足同样的条件。首先，每次迭代矩阵是正定的，同时由于满足(B.13)即，所以我们可以假定 也满足这个式子，既有：

按照拟牛顿条件，再每次迭代中可以选择更新矩阵:

这种选择具有一定的灵活性，因此有多种具体的实现方法。主要包括DFP，BFGS算法等