逆元

知识点

因数和倍数的性质

$a|b$在数学中表示a是b的因数。
关于符号"|"，有以下性质：

1. 如果$a|b$则有$-a|b$ , $a|-b$ , $|a|||b|$
   推导过程：$a|b$就是$b/a=k$,在正数与负数的除法中，改变一个整除算式中的数前的正负号，不过改变商的正负号，依然能整除，因此此性质成立。
2. 如果$m\ne 0,a|b$则有$ma|mb$
   推导过程：$a|b$就是$b/a=k$,$ma|mb$就是$mb/ma=k$,根据除法商不变的性质：除数和被除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，可知此性质成立。
3. 如果$a|b,b|c$则有$b|c$
   推导过程：$a|b=1a|ax,b|c=ax|axy,x=b/a,y=c/b$则$a|c=a|axy$,显然$axy\%a=0$
4. 如果$a|b,a|c$则有$a|(bx+cy)$(x,y为任意自然数)
   推导过程：$a|b=1a|an,a|c=1a|am,n=b/a,m=c/a$则$a|(bx+cy)=a|(anx+amy)=a|a(nx+my)$,显然$a(nx+my)\%a=0$
5. 如果$(m,a)=1,m|ab$则有$m|b$
   推导过程：$(m,a)=1$说明$m|ab$与a一点关系都没有，则$m|ab=m|amk,m|b=m|mk$,显然$mk\%m=0$
6. 有一个集合a长度为n,如果$a_i|c,(1\le i\le n)$则有$[a_1,a_2,...,a_n]|c$
   推导过程：$a_i|c$说明c是所有$a_i$的倍数，也就是它们的公倍数，一些数的公倍数是这些数的最小公倍数的倍数，因此此性质成立
7. 如果$a=bq+r$则$a|b$的充分必要条件为$r=0$
   推导过程：$a=bq+1->a/b=q......r,r=0$则$a=bq+1->a/b=q$,显然此性质成立

取模的四则运算

加法：
$(A+B)\%mod=((A\%mod)+(B\%mod))\%mod$
乘法：
$(A\ast B)\%mod=((A\%mod)\ast (B\%mod))\%mod$
减法（由于在进行减法运算后结果可能是负数，因此需要加上一个mod后再取模）：
$(A-B)\%mod=((A\%mod)-(B\%mod)+mod)\%mod$
除法运算取模是不是也和上面的取模运算一样是
$(A/B)\%mod=((A\%mod)/(B\%mod))\%mod$呢？
答案是否定的，除以一个数可以看成乘这个数的倒数，这个数也叫做逆元，x的逆元记作$inv(x),x^{-1}$。.
所以$(A/B)\%mod=((A\%mod)\ast (B^{-1}\%mod))\%mod$

逆元的定义和意义

数学上认为mod就是在一个环上做运算,如：x mod 5,认为是在下图中做运算，可是要是运算数中出现分数,并不在环上怎么办？

分数可以看成除法，除以一个数可以看成乘这个数的倒数，关于取模的倒数叫逆元，x的逆元记作$inv(x),x^{-1}$。
要使$(a\ast a^{-1})\%p=1$，$a\%p=a^{-1}\%p$

逆元的计算

根据费马小定理得知：
(p为质数，a不是p的倍数)
$a^{p-1}\%p=1$
经过变形可得
$(a\ast a^{p-2})\%p=1$
与$(a\ast a^{-1})\%p=1$相似
因此$a^{-1}=a^{p-2}$

题目

求逆元

时间限制：1秒 内存限制：128M

题目描述

输入a,b=$10^9+7$,求$a\%b$时inv(a)

样例输入

3

样例输出

333333336

代码

用公式解答即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
long long mod=1e9+7,a;
long long fast_pow(long long a,long long b){
	long long fac=1;
	while(b>0){
		if(b&1){
			fac*=a;
			fac%=mod;
		}
		a=a*a;
		a%=mod;
		b>>=1;
	}
	return fac%mod;
}
int main() {
    scanf("%lld",&a);
	printf("%lld",fast_pow(a,mod-2));
    
    return 0;
}

线性求逆元

时间限制：1秒 内存限制：128M

题目描述

给定n,p，求1到n所有整数在模p意义下的乘法逆元。

样例输入

10 13

样例输出

1
7
9
10
8
11
2
5
3
4

思路

(p/x向下取整)
$inv(x)$还等于$(p-p/x)\ast inv(p\%x)$
可用此式子递推求逆元，时间复杂度O(n)。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,p;
long long inv[5000005];
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&p);
	inv[1]=1;
	printf("%din",inv[1]);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
		printf("%d\n", inv[i]);
	}
	return 0;
}