14、过程模拟与分析计算技术：MATLAB 应用详解

过程模拟与分析计算技术：MATLAB 应用详解

1. 数值方法概述

在工程领域，尤其是化学工程中，我们常常会遇到各种复杂的方程需要求解，其中偏微分方程（PDEs）和常微分方程（ODEs）的求解尤为关键。下面将介绍几种常见的数值方法。

1.1 有限体积法（FVM）

有限体积法的核心思想是对有限体积本身进行建模。通量项表示物质从体积边界的流入和流出，而瞬态和反应源项则与体积内的反应物质相关。原则上，将有限体积法应用于活塞流反应器（PFR）时，可以将其视为多个连续搅拌釜式反应器（CSTRs）串联。有限体积法常用于计算流体动力学（CFD）软件中，但本文不会进一步深入探讨。

1.2 有限元法（FEM）

有限元法在离散化区域后，采用一种稍有不同的方法来逼近解。它不是将微分项表示为有限差分，也不是在有限体积上求解方程，而是将解表示为基函数的组合：
[C = \sum_{i} c_{i} \psi_{i}]
其中，(\psi_{i}) 表示基函数，(c_{i}) 表示系数。选择基函数的一种常见方法是，函数 (\psi_{i}) 在第 (i) 个节点处的值为 1，在其他所有节点处的值为 0。解 (C) 是整个区域上基函数的线性组合。一旦选择了基函数并确定了离散化方式，使用有限元法求解偏微分方程主要涉及找到系数 (c_{i})。有限元法在固体力学中非常流行，如今也在各种问题中得到了广泛应用，特别是在多物理场问题中。不过，有限元法超出了本文的范围，这里只是简单提及，以与我们选择的空间有限差分方法进行对比。

1.3 双曲型偏微分方程：对流系统

双曲型偏微分方程在化学工程中常用于对流系统的瞬态模