可再生能源驱动的MEC网络优化

联合计算卸载与需求响应管理在具有可再生能源的移动边缘网络中

摘要

移动边缘计算（MEC）网络近年来不断发展，通过集成可再生能源来提供可持续且低成本的计算/能源服务。然而，一个具有挑战性的问题是如何在可再生能源发电高度间歇性和计算/能源需求多变的情况下，为大量设备保障稳定且高效的服务。本文考虑在每个边缘子网络的微型基站（BS）处协同部署边缘服务器和储能单元。在所考虑的场景中，我们首先在长期周期内确定不同边缘子网络中边缘服务器和储能单元的数量。然后，我们以集中式方式联合设计所有微基站的卸载和需求响应策略。考虑到可再生能源以及计算/能源需求的波动性，在满足能源供需平衡和可再生能源组合标准的同时最小化系统成本。此外，构建了一个分布式优化问题，用于求解最优卸载参数、充放电能量以及微基站的可再生能源利用率，而无需共享全部运行信息。数值结果表明，所提出的部署方案和策略能够为所研究的移动边缘网络提供有效的任务卸载和节能策略。

索引术语 —移动边缘计算，计算卸载，需求响应，储能控制，可再生能源利用。

一、引言

随着高质量服务需求的蓬勃发展，物联网（IoT）系统面临着充分覆盖、终端智能和双向交互的挑战，将产生大量需要进行分析的原始数据[1]–[4]。这些数据分析可以在设备端处理，或转发至云服务器。然而，前一种方式会导致显著的计算成本，超出设备的处理能力；而后一种方式由于远程传输会引入高延迟。因此，迫切需要将计算服务扩展到计算需求产生的位置附近，即网络边缘[5]–[8]。

为了满足上述需求，移动边缘计算（MEC）技术应运而生，将计算资源推向物联网设备附近，以减少传输延迟和能耗。鉴于此，MEC网络能够为物联网系统的末端节点提供精细的环境感知和实时任务执行优势[9],[10]。值得注意的是，MEC网络的性能依赖于灵活按需的能源供应。得益于智能电网（或能源互联网）的发展，利用热能、风能和/或太阳能辐射产生的可再生能源被引入边缘系统，以低成本保障充足且绿色的能源供应[11],[12]。例如，将可再生能源集成到居民区是智能电网的主要进展之一，可进一步丰富社区级MEC网络的能源供应，同时减少碳排放和空气污染。因此，可再生能源驱动的边缘网络成为近期文献中的研究焦点。

Wang等研究了单用户无线供能MEC系统，其中用户的计算与卸载操作依赖于从设计的能量发射器采集的能量[15]。Zhou等提出了一个计算效率最大化问题，联合优化MEC系统中用户的能量采集时间、本地计算频率以及卸载时间与功率[16]。Ji等研究了多用户无线供能MEC中的节能型卸载和资源分配问题，其中近端用户可以利用采集能量将远端用户的任务转发至边缘服务器[17]。Zhang等提出了一种用于处理卸载任务的长期奖励总和方法，同时适应高度动态的能量采集过程和计算任务到达情况[18]。不同于上述考虑用户侧卸载和能源管理的研究，Xu等将可再生能源引入MEC系统，并根据任务、电池、可再生能源发电等信息在边缘侧进行卸载和边缘服务器资源供给决策[19]。

尽管配备可再生能源的移动边缘计算网络能够以较低的能耗为边缘设备提供高效的计算服务，但仍有一些关键问题需要认真解决。1）间歇性可再生能源发电和时变的设备需求将导致不可预测的成本；2）边缘网络中分离的计算与能源资源配置可能导致较高的系统成本。为应对这些问题，本文考虑了两种方法。一种方法是在边缘网络部署储能装置（电池）[20],[21]，在发电高峰时段存储过剩的可再生能源，并在用电高峰时段弥补电力不足，从而缓解可再生能源发电的不确定性和波动性。另一种方法是需求响应管理[22]，使移动边缘计算网络能够根据时变的计算资源和能源供应来调整设备需求。在此情况下，需求响应管理能够从全局系统的角度实现移动边缘计算网络的供需平衡。

本文旨在针对具有可再生能源的移动边缘网络，协同部署边缘服务器和储能设备。在此类网络中，设备根据其能量、计算需求和传输条件被划分为多个边缘子网络。同时，每个子网络采用一个微型基站（BS）来控制边缘服务器、储能单元和可再生能源，以共同为设备提供计算与电力充电服务。由于边缘服务器的有限计算与能源能力，部分计算任务可以通过宏基站卸载到云服务器。考虑到包括部署成本和运行成本在内的系统成本，应在长期周期内谨慎确定每个微基站的边缘服务器和储能单元的数量。另一个需要考虑的问题是多个微基站的联合资源分配，负责分配通信、计算和能源资源，以满足不同设备的服务需求。

因此，本文的主要贡献总结如下：
1) 我们构建了一个随机优化问题，以最小化所提出的MEC网络的系统成本。关键参数用于描述每个子网络：边缘服务器和存储单元数量、微型基站的卸载参数、充放电功率水平以及可再生能源利用率。
2) 我们提出了一种基于样本平均近似（SAA）的集中式算法，用于求解所提出的随机优化问题，同时满足能量供需平衡和可再生能源组合标准。
3) 然后我们设计了一种用于实际实现的分布式算法。该分布式算法能够在宏基站与微基站之间通过最小化信息交换找到接近最优的策略。

本文其余部分组织如下。在第二节中介绍了系统模型。随机优化问题的公式化在第三节中进行。

II. 系统模型

A. 网络模型

图1展示了一个移动边缘网络，该网络由一个宏基站和N个子网络组成。每个子网络包含一个微基站，该微基站连接一组边缘服务器和储能单元，能够为随机移动或位置不确定的边缘设备提供服务。宏基站负责控制所有微基站之间的信息交换、能量和计算资源分配。微基站能够为设备提供计算和充电服务。由于计算能力有限，微基站还可以通过宏基站将计算任务卸载到远程云服务器。每个微基站由其所连接的储能单元供电，储能单元可通过电网和子网络内部署的可再生能源进行充电。

B. 微基站计算模型

本文中，我们考虑微型基站n执行其所在子网络内设备卸载的任务。时间被划分为执行区间，即时隙。每个时隙t卸载到微型基站n的总计算任务量记为On(t)比特。由于设备数量以及每个设备的计算任务到达率未知，因此计算任务On(t)是一个随机变量。微型基站可以通过本地计算和计算卸载来处理计算任务。因此，计算任务可划分为两部分：本地任务和任务卸载，分别记为oloc n(t)和oofd n(t)。

在本地计算情况下，计算任务由连接到微型基站的边缘服务器执行。设dn表示微型基站n处一个边缘服务器的计算能力。我们假设连接到同一微型基站的边缘服务器具有相同的计算能力。那么，在时隙t，微型基站n对任务oloc n(t)的计算时间τloc n(t)为

$$
\tau_{\text{loc}}^{n}(t) = \frac{o_{\text{loc}}^{n}(t)}{d_n m_n(t)}
$$

其中mn(t)表示在时隙t期间微型基站n处边缘服务器的数量。同时，微型基站处边缘服务器的部署成本

$$
C_{\text{Edge}}^{n}(t) = \alpha_l m_n(t)
$$

其中αl是边缘服务器的部署成本。

在计算卸载情况下，计算任务通过宏基站卸载到云服务器。微型基站使用正交频谱与宏基站通信，从而使得所有微型基站之间无干扰。因此，宏基站与第n个微型基站之间通信链路的数据速率为

$$
V_n = B \log_2\left(1 + \frac{p_n g_n}{\sigma^2}\right)
$$

其中B为宏基站与微型基站之间的系统带宽，pn为微型基站n的发射功率，gn为微型基站n与宏基站之间通信链路的信道功率增益，σ²为宏基站接收端的加性高斯白噪声功率。从微型基站n到宏基站的任务卸载时间可计算为

$$
\tau_{\text{ofd}}^{n}(t) = \frac{h_{\text{ofd}}^{n}(t)}{V_n} = \frac{h_{\text{ofd}}^{n}(t)}{B \log_2\left(1 + \frac{p_n g_n}{\sigma^2}\right)}
$$

C. 微基站的能耗模型

在我们的模型中，微型基站的能耗包括三个部分：本地计算、卸载过程和放电过程。首先，微型基站用于本地计算的能耗可以表示为

$$
e_{\text{loc}}^{n}(t) = \kappa \left[\frac{o_{\text{loc}}^{n}(t)}{\tau_{\text{loc}}^{n}(t)}\right]^2 = \kappa [d_n m_n(t)]^2 o_{\text{loc}}^{n}(t)
$$

其中κ是边缘服务器的有效开关电容。此外，在计算卸载情况下，微型基站的能耗主要由任务卸载过程引起，其表达式为

$$
e_{\text{noff}}(t) = p_n \tau_{\text{ofd}}^{n}(t) = \frac{p_n h_{\text{ofd}}^{n}(t)}{B \log_2\left(1 + \frac{p_n g_n}{\sigma^2}\right)}
$$

微型基站还需要为设备提供充电服务，这些设备假设完全由采集能量供电。在每个时隙开始时，设备会向微型基站发送能量收集需求，并从微型基站发射的射频（RF）信号中采集能量。之后，设备可以利用采集能量进行本地计算或计算卸载。需要注意的是，不同设备可能具有不同的能量需求量，且多个设备可能在同一时间请求充电服务。因此，我们无法准确获知下一个时隙特定边缘子网络的能量需求。因此，第n个子网络edemd n(t)的能量需求被建模为一个随机变量。

设en(t)表示微型基站在时隙t期间消耗的总能量，我们有

$$
e_n(t) = e_{\text{demd}}^{n}(t) + e_{\text{loc}}^{n}(t) + e_{\text{ofd}}^{n}(t)
$$

D. 能量存储模型

由于从电网获取的能源并非免费，每个微基站（microBS）会在低价时段控制储能从电网充电，并在高价时段放电以满足设备需求。此处我们假设储能中的能量使用是免费的。设Sn(t)表示在时隙t连接到微型基站n的储能能量水平。设sn(t)为在时隙t期间充入（当sn(t) ≥ 0时）或从微型基站放出（当sn(t) ≤ 0时）的充电功率。假设储能泄漏可忽略不计，则储能能量水平满足

$$
S_n(t+1) = S_n(t) + s_n(t), \quad \forall n, t
$$

设kn(t) ∈ {1,…, K}表示第n个微型基站在时隙t内的储能单元数量。微型基站中一个储能单元的容量用bmax表示。储能的能量水平应始终为非负，且不能超过电池容量。因此，在每个时隙t，我们需要确保对于每个微型基站，

$$
0 \leq S_n(t) \leq k_n b_{\text{max}}, \quad \forall n, t
$$

设smax n和smin n分别表示第n个微型基站的充电速率和放电速率的上界。我们对sn(t)有以下约束：

$$
-s_{\text{min}}^{n} \leq s_n(t) \leq s_{\text{max}}^{n}, \quad \forall n, t
$$

其中smin n和smax n是正数常量。

为了最大化储能寿命，应考虑储能成本。根据[23]，我们首先引入放电深度，记为DODj，其中100%（0%）的放电深度表示储能为空（满）。然后，在储能成本中应考虑使存储能量保持在指定放电深度以上的成本。设αs表示一个储能单元的部署成本，则第n个微型基站的储能成本可定义为

$$
C_{\text{Stor}}^{n}(t) \triangleq \psi((1 - \text{DOD} j)k_n b {\text{max}} - S_n(t))^+ + \alpha_s k_n
$$

显然，较高的权重ψ会导致储能的变化较小。如果允许较大的功率交换，则可以选择非常小的权重，甚至可以选择CStor n(t) = αskn。

E. 可再生能源使用模型

在所提出的模型中，假设微型基站使用可再生能源是免费的。由于可再生能源通常是间歇性、不确定且不可控的，我们使用随机参数wn(t)来表示第n个子网络在时隙t的可再生功率输出。令wmax n表示第n个子网络的可再生功率输出的最大值。我们有

$$
0 \leq w_n(t) \leq w_{\text{max}}^{n}, \quad \forall n, t
$$

设rn(t)表示第n个微型基站在时隙t所要利用的可再生能源量。截至2012年10月，29个州、哥伦比亚特区和波多黎各已实施可再生能源组合标准（RPSs）。RPS规定了电力供应中必须来自可再生能源的最低阈值[25][26]。在本文中，我们假设在整个时间范围内，总可再生能源的使用量大于或等于β的概率至少为1 − δ，即0 < β < 100%。因此，我们得到以下约束

$$
\Pr\left(\beta \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} w_n(t) - \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t) \leq 0\right) \geq 1 - \delta
$$

III. 联合计算与能量收集策略

A. 能源供需平衡策略

为了向设备提供稳定的计算和充电服务，保持每个微型基站在各时隙的能量供需平衡至关重要。微型基站可以利用可再生能源为设备供电或对储能设备进行充电。此外，当电价较低时，微型基站可以从电网购电；当电价较高时，微型基站可指令储能设备放电以提供能量。设gn(t)表示第n个微型基站在时隙t从电网获取的电能。为确保能量供需平衡，即微型基站n的能量需求在任何时刻都应由能量输出满足，我们有

$$
g_n(t) + r_n(t) = s_n(t) + e_n(t)
$$

然后，微型基站从主电网购电以避免能量短缺。每个时隙的短缺能量为$[g_n(t)]^+$，其中$[a]^+ \triangleq \max{a, 0}$。短缺能量部分以已知的购买价格$\alpha_p$从电网购得。令$C_{\text{Grid}}^{n}(t)$表示第n个微型基站的购电成本，我们有

$$
C_{\text{Grid}}^{n}(t) = \alpha_p[g_n(t)]^+ = \alpha_p[s_n(t) + e_n(t) - r_n(t)]^+
$$

B. 问题建模

我们的目标是通过优化任务卸载参数$ o_{\text{loc}}^{n}(t), o_{\text{ofd}}^{n}(t) $、边缘服务器数量$ m_n(t) $和储能单元$ k_n $、微型基站的充放电能量$ s_n(t) $以及可再生能源利用率$ r_n(t) $，来最小化系统成本。系统成本包括定义为$ C_{\text{Depl}}^{n}(t) \triangleq C_{\text{Edge}}^{n}(t) + C_{\text{Stor}}^{n}(t) $的部署成本和购电成本$ C_{\text{Grid}}^{n}(t) $。因此，我们可以建立以下优化问题，

P1
$$
\min_{m_n(t), o_{\text{loc}}^{n}(t), o_{\text{ofd}}^{n}(t), k_n(t), s_n(t), r_n(t)} \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} \left[ C_{\text{Depl}}^{n}(t) + C_{\text{Grid}}^{n}(t) \right]
$$
s.t.
C1: $ o_{\text{loc}}^{n}(t) + o_{\text{ofd}}^{n}(t) = O_n(t), \quad \forall n, t $,
C2: $ 0 < m_n(t) \leq M, \quad 0 < k_n(t) \leq K, \quad \forall n, t $,
C3: $ 0 \leq o_{\text{loc}}^{n}(t) \leq d_n m_n(t), \quad \forall n, t $,
C4: $ 0 \leq S_n(t) \leq k_n(t) b_{\text{max}}, \quad \forall n, t $,
C5: $ S_n(t+1) = S_n(t) + s_n(t), \quad \forall n, t $,
C6: $ -s_{\text{min}}^{n} \leq s_n(t) \leq s_{\text{max}}^{n}, \quad \forall n, t $,
C7: $ \Pr\left( \beta \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} w_n(t) - \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t) \leq 0 \right) \geq 1 - \delta $

约束(C1)用于确保微型基站在每个时隙内能够成功完成任务执行。约束(C2)限制了可在微型基站部署的边缘服务器和储能单元的总数。约束(C3)和(C4)分别是微型基站中边缘服务器和储能单元的容量约束。约束(C5)是储能动态方程。约束(C6)是对充放电速率的限制。约束(C7)确保在整个时间范围内，总可再生能源利用量大于或等于最低可再生能源利用水平β的概率至少为$ 1 - \delta $，其中$ 0 < \beta < 100\% $。

在所提出的概率约束问题（P1）中，我们注意到每个微型基站处的边缘服务器和储能单元的数量不能在每个时隙都发生变化。因此，我们提出对原问题进行两阶段分解。在第一阶段，我们提出一种集中式算法，通过开发样本平均近似(SAA)方法来求解概率约束问题（P1）。在优化周期(一年)内获得的边缘服务器最优数量（$ m_n $）、储能单元（$ k_n $）以及可再生能源利用量（$ R = \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t) $）被视为上限，并传递给第二阶段。在第二阶段，该优化问题以分布式方式每日求解。结果包括各微型基站的最优任务卸载参数、充放电水平以及可再生能源利用量，这些反映了实际可实现的效益。

IV. 阶段I：基于SAA方法的集中式解决方案

为了解决机会约束问题（P1），我们采用SAA方法，其中利用蒙特卡洛模拟将可再生能源输出和设备需求的真实分布替换为经验分布。为了估计设备的能源需求$ e_{\text{demd}}^{n} $，蒙特卡洛模拟生成I个场景，每个场景具有相同的概率1/I。在生成场景后，购电成本的期望值函数，表示为$ \bar{C}_{\text{Grid}}^{n}(t, \phi_i) $，可通过样本均值函数进行估计。

$$
\bar{C} {\text{Grid}}^{n}(t, \phi_i) = \frac{1}{I} \sum {i=1}^{I} \alpha_t[s_n(t) + e_{\text{demd}}(t, \phi_i) + e_{\text{loc}}^{n}(t) + e_{\text{ofd}}^{n}(t) - r_n(t)]^+
$$

其中$\phi_i, i=1,…,I$是随机用户需求配置文件的独立同分布（i.i.d.）样本。

类似地，计算任务和可再生能源发电的期望值函数可分别估计为$ \bar{O} n(t, \theta_i) = I^{-1} \sum {i=1}^{I} O_n(t, \theta_i) $和$ I^{-1} \sum_{i=1}^{I} w_n(t, \xi_i) $，其中$\theta_i, \xi_i, i=1,…,I$是随机可再生能源实现的独立同分布样本。此外，我们定义

$$
G(\xi_i) \triangleq \beta \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} w_n(t, \xi_i) - \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t)
$$

相应地，机会约束(C7)可以通过指示函数$ I^{-1} \sum_{i=1}^{I} \mathbf{1} {(0,\infty)}(G(\xi_i)) \leq \delta $进行估计（例如，参见[27]），该指示函数要求一定比例的样本满足机会约束(C7)。指示函数的值当$ G(\xi_i) \in (0,\infty) $时，$ \mathbf{1} {(0,\infty)}(G(\xi_i)) $等于1；当$ G(\xi_i) \leq 0 $时，等于0。因此，原始问题（P1）可以重新表述为以下SAA问题：

P2
$$
\min_{l_n(t), o_{\text{loc}}^{n}(t), o_{\text{ofd}}^{n}(t), k_n, s_n(t), r_n(t)} \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} C_{\text{Depl}}^{n}(t) + \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} \bar{C} {\text{Grid}}^{n}(t, \phi_i)
$$
s.t. (C2)-(C6),
$ I^{-1} \sum {i=1}^{I} \mathbf{1} {(0,\infty)}(G(\xi_i)) \leq \delta $,
C8: $ o {\text{loc}}^{n}(t) + o_{\text{ofd}}^{n}(t) = \bar{O}_n(t, \theta_i), \quad \forall n, t $

随机变量（如能源需求、计算任务、可再生能源发电）的样本分别用于目标函数和机会约束部分中第二项的近似。一旦生成这些样本，随机优化问题将转化为一个确定性问题，可根据[28]进行求解。

A. 收敛性

令$\hat{v}_I$和$\hat{x}_I$分别表示混合整数SAA问题（P2）的最优目标值和一个最优解。令$v^ $和$x^ $分别表示真实问题（P1）的最优目标值和一个最优解。我们可以证明，随着样本数量的增加，（P2）的解收敛于（P1）的解，如下述命题所示。

命题1 ：当I趋近于无穷大时，混合整数SAA问题（P2）的最优值$\hat{v}_I$和最优解$\hat{x}_I$以概率1收敛到原始对应的$v^ $和$x^ $。

证明：收敛性证明的详细信息见附录A。

根据该命题，我们可以证明，当采样规模趋于无穷大时，确定性问题的解收敛于随机问题的解。

B. 解的验证

在本小节中，我们展示所提出的SAA问题的解的验证。解的验证通过获取相应最优目标值的上下界来提供一种验证其质量的方案。设$\bar{v}$和$\bar{x}$分别表示SAA问题的最优目标值和最优解。我们按如下方式计算上下界。

1) 上界 ：我们首先给出解$\bar{x}$可行性的验证。令$y(\bar{x})$表示机会约束的概率。我们有

$$
y(\bar{x}) = \Pr{G(\bar{x}, \xi) > 0}
$$

这里，我们再次通过蒙特卡洛采样技术来估计$y(\bar{x})$。生成一个独立同分布样本$\xi^1,…,\xi^{I’}$，并用$\hat{y} {I’}(\bar{x})$来估计$y(\bar{x})$。当$I’$较大时，$\hat{y} {I’}(\bar{x})$的分布可用均值为$y(\bar{x})$、方差为$y(\bar{x})(1 - \hat{y}_{I’}(\bar{x}))/I’$的正态分布来近似。因此，可得到一个$(1 - \beta)$-置信

$y(\bar{x})$的上界可以表示为

$$
U(\bar{x}) = \hat{y} {I’}(\bar{x}) + z \beta \sqrt{\hat{y} {I’}(\bar{x})(1 - \hat{y} {I’}(\bar{x}))/I’}
$$

其中$z_\beta = \Phi^{-1}(1 - \beta)$。由(15)可知，若SAA问题的最优目标值的上界$U(\bar{v})$小于风险水平$\delta$，则$\bar{x}$在置信水平$(1 - \beta)$下是可行的。然后，令$U(\bar{v})$表示SAA问题最优目标值的上界。通过使用与[27]中所述类似的方法，可以评估$U(\bar{v})$

$$
U(\bar{v}) = c^T \bar{x} + I^{-1} \sum_{i=1}^{I} \bar{C}_{\text{Grid}}^{n}(t, \phi_i)
$$

2) 下界 ：为了获得目标值$\bar{v}$的下界，我们生成H个独立样本$\xi^{1h},…,\xi^{Ih}, h=1,…,H,$随机向量$\xi$。对于每个样本，我们求解相应的SAA问题并记录对应的最优目标值$\bar{v} {Ih}, h=1,…,H$。然后，我们将计算出的最优值按非递减顺序排序，即$\bar{v} {I1} \leq \cdots \leq \bar{v} {IH}$，并选择第小的最优值$\bar{v} {\lfloor I \rfloor}$，其中的计算如[27]所述。最后，结果表明，在置信水平$(1 - \beta)$下，随机变量$\bar{v}_{\lfloor I \rfloor}$是$\bar{v}$的下界。

V. 阶段II：微基站协同的分布式控制

在阶段I，宏基站采用集中式方案获取边缘服务器的最优数量（$m_n^ $）、储能单元（$k_n^ $）以及每日最优可再生能源利用率（$\bar{R}$），并将这些参数传递给阶段II。在阶段II中，提出了一种多个微基站以协作方式运行的分布式控制方案。该阶段的目的是找到分布式微基站每小时最优卸载参数、充放电水平以及可再生能源利用率。我们可以将该分布式优化问题表述如下

P3
$$
\min_{o_{\text{loc}}^{n}(t), o_{\text{ofd}}^{n}(t), s_n(t), r_n(t)} \sum_{t=0}^{T-1} \left[ C_{\text{Depl}}^{n}(t) + C_{\text{Grid}}^{n}(t) \right]
$$
s.t. (C1),(C5),(C6),
C9: $ 0 \leq o_{\text{loc}}^{n}(t) \leq d_n m_n^ , \quad \forall n, t $,
C10: $ 0 \leq S_n(t) \leq k_n^ b_{\text{max}}, \quad \forall n, t $,
C11: $ \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t) \leq \bar{R} $,

其中，(C9)中的$m_n^ $、(C10)中的$k_n^ $以及(C11)中的$\bar{R}$为常数，通过求解阶段I的P1获得。

在（P3）中，计算任务和设备的能源需求的真实分布是未知的。然而，采用SAA方法来近似设备需求的分布。然后，原始的分布式问题（P3）可以重新表述为分布式SAA问题（P4）：

P4
$$
\min_{o_{\text{loc}}^{n}(t), o_{\text{ofd}}^{n}(t), s_n(t), r_n(t)} \sum_{t=0}^{T-1} C_{\text{Depl}}^{n}(t) + \sum_{t=0}^{T-1} \bar{C}_{\text{Grid}}^{n}(t, \phi_i)
$$
s.t. (C5),(C6),(C8)-(C11),

其中$\bar{C}_{\text{Grid}}^{n}(t, \phi_i)$由(11)给出。接下来，我们将提出(P4)的对偶问题，并设计一种基于次梯度方法的分布式算法来求解它。

A. 对偶问题

令向量$x_n$表示变量${o_{\text{loc}}^{n}(t), o_{\text{ofd}}^{n}(t), s_n(t), r_n(t)}$的集合。令${\mu_t, t=1,…,T}$表示问题(P4)中约束(C11)的拉格朗日乘子，则仅考虑约束(C11)的拉格朗日函数为

$$
L(\mu, x_n) = \tilde{C} {\text{Depl}}(t) + \mu_t(l) \left( \sum {t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t) - \bar{R} \right) + \sum_{t=0}^{T-1} \bar{C}_{\text{Grid}}^{n}(t, \phi_i)
$$

其中$\tilde{C} {\text{Depl}}^{n}(t) = \sum {t=0}^{T-1} C_{\text{Depl}}^{n}(t)$。

对偶函数和对偶问题的形式为

$$
q(\mu) = \min_{x_n} L(\mu, x_n) \quad \text{s.t.} \quad (C5),(C6),(C9),(C10)
$$

对偶问题可以写成

$$
q^* = \max_{\mu \geq 0} q(\mu)
$$

可以证明，函数$L(\mu,x_n)$是凸的。由于对偶问题中约束所确定的非空紧集，保证了最优值的有限性。因此，问题(P4)具有零对偶间隙。设$x^ $表示问题(P4)的最优解，$\mu^ $表示对应于对偶解的最优拉格朗日乘子。变量$x^ $也是当$\mu = \mu^ $时问题(P4)的最小化变量，即$q(\mu^ ) = L(\mu^ ,x_n^*)$。

B. 分布式算法

我们采用次梯度方法来获得最优乘子$\mu^ $和变量$x^ $。该迭代过程利用对偶问题中的拉格朗日最小化函数（17），并针对每个社区n对$x_n$进行最小化。具体而言，次梯度方法包括以下迭代步骤，索引为$l=1,2,…$，并以任意的$\mu^{(l)} \geq 0$初始化：

$$
x_n(l) = \arg \min_{x_n} \tilde{C} {\text{Depl}}^{n}(t) + \mu_t(l) \left( \sum {t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t) - \bar{R} \right) + \sum_{t=1}^{T} \bar{C}_{\text{Grid}}^{n}(t, \phi_i), \quad n=1,2,…,N
$$

$$
\mu_t(l+1) = \left{ \mu_t(l) + \lambda_l \left[ \left( \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t) - \bar{R} \right) \right] \right}^+
$$

其中$\lambda_l > 0$是步长。

我们提出了一种分布式算法V-B，分别用于在宏基站和微基站求解问题(18)和(19)。该算法的过程如下。宏基站执行

算法1：由宏基站和微基站执行的分布式算法。

1: 重复；
2: 在随机时间实例执行；
在宏基站处
3: 随机初始化$\lambda_l$和${\mu_t(l)} {t=1}^T$；
4: 向所有微基站广播${\mu_t(l)} {t=1}^T$；
5: 如果$x_n$从第n个微基站接收到，则；
6: 根据(19)更新${\mu_t(l+1)} {t=1}^T$；
7: End;
在微基站
8: 如果${\mu_t(l)} {t=1}^T$被接收到，则；
9: 通过使用凸优化求解本地问题(18)编程[28]；
10: 如果$x_n$相对于当前解发生变化
11: 根据新解更新$x_n$；
12: End;
13: 向宏基站报告$x_n$
14: End;
15: End;
16: 直到没有微型基站向宏基站

负责更新并向所有微基站广播拉格朗日乘子${\mu_t(l)} {t=1}^T$。在接收到拉格朗日乘子${\mu_t(l)} {t=1}^T$后，微基站求解其自身的局部优化问题(18)，并将结果上报给宏基站。最后，执行第1到15行的循环，直到算法收敛。

C. 收敛性

在本小节中，我们将证明算法1的收敛性。假设宏基站广播的迭代向量以及微基站发送的个体向量更新始终能够可靠传递。我们注意到，如果采用适当的步长$\lambda_l$，次梯度方法将有效工作。这一点在命题2中得到了证实。

命题2 ：设$\tilde{R} = \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{n=1}^{N} r_n(t)$，所提出的算法2将在每个$\mu_t(l)$和对偶最优解$\mu^*$均满足条件下收敛

$$
| \mu_t(l+1) - \mu^ | < | \mu_t(l) - \mu^ |,
$$

对于所有步长$\lambda_l$使得

$$
0 < \lambda_l < \frac{2(q(\mu^*) - q(\mu_t(l)))}{| \tilde{R}(l) - \bar{R} |^2}
$$

证明：收敛性证明的详细内容见附录B。

VI. 数值结果

在本节中，选择了四个边缘子网络，每个子网络包含不同数量（[1000, 1500, 2000, 2500]）的设备。每个设备的任务大小空间设置为$O_n = {30\ \text{千比特/秒},\ 60\ \text{千比特/秒}, \cdots,\ 300\ \text{千比特/秒}}$。可再生能量配置文件包括风力涡轮机和太阳能的输出。对于电网市场价格，研究了两种不同的电价方案：电价方案A和电价方案B。在电价方案A中，白天时段（即上午8:00至午夜12:00）为$\alpha_t = 0.5$美分，夜间（即午夜12:00至第二天上午8:00）为$\alpha_p = 0.1$美分。在电价方案B中，$\alpha_p$设定为电价方案A的10倍。其他参数列于表I中。

A. 系统成本

在本小节中，我们致力于比较所提出的移动边缘网络在不同方案下的系统成本。除了所提出的方案外，还对比了固定部署方案（即边缘子网络在固定的边缘服务器和储能单元数量下最小化系统成本）以及贪婪能源方案（即子网络通过利用储能中的所有可用能量来寻找最优卸载策略）。

在图2和图3中，我们展示了移动边缘网络在不同方案下的系统成本，分别为$\beta = 100\%$和$\beta = 80\%$。结果表明，所提出的资源分配方案（包括集中式方案和分布式方案）引起的系统成本低于固定部署方案和贪婪能源方案。这是因为所提出的方案不仅能够最优地部署边缘服务器和储能单元，还能根据每小时的系统状态调度计算操作以及储能装置的充放电行为。

相比之下，固定部署方案由于边缘服务器和储能的静态部署，未考虑动态计算需求，导致成本较高。贪婪能源方案无法根据计算需求和可再生能源发电情况自适应地对储能进行充放电，可能导致储能使用成本较高。此外，我们观察到分布式方案的系统成本接近但高于集中式方案。这是因为分布式方案仅利用本地信息求解所提出的问题，可能导致每个微基站的次优解。相比之下，集中式方案通过掌握全局信息，能够获得所有微基站的最优策略。

我们还注意到，$\beta = 80\%$场景下的总系统成本（如图3所示）高于$\beta = 100\%$场景下的总系统成本（如图2所示）。这是因为较低的$\beta$表示对可再生能源利用率的约束更严格。在这种情况下，总需求超过可再生能源发电量的概率较高。为了维持电力供需平衡，微型基站必须从主电网购买更多电力，从而导致更高的成本。

B. 最优部署和卸载策略

为了说明边缘服务器和储能的最优部署与运行策略，我们首先给出了如图4所示的4个不同子网络的总计算需求。由于每个子网络中的设备数量不同，可以看出各子网络在每个小时的计算需求也不同，且高峰时段出现在12:00–20:00之间。

表II显示了在不同电价方案和可再生能源使用模型下，各微基站应部署的储能单元最优数量。可以看出，在$\beta = 100\%$情况下应部署的边缘服务器和储能单元数量多于$\beta = 80\%$情况。这是因为$\beta$的值越高，表示允许使用更多的可再生能源，从而需要更多的储能和边缘服务器部署。同时，我们可以看到，在高电价方案（电价方案B）下的储能单元数量多于低电价方案（电价方案A）下的数量。也就是说，较高的电网购电价格会激励在用电高峰时段更频繁地放电储能，因此需要更多的储能单元。然后，我们在图5中展示了在边缘服务器和储能单元数量固定的情况下，子网络1中微型基站的最优卸载策略。我们可以观察到，当计算任务的数量未超过边缘服务器容量时，微型基站选择在本地边缘服务器上执行任务。随后，随着时间推移计算需求增加，可在本地执行的任务数量也相应变化。

当边缘服务器饱和时，额外的任务将被卸载到云服务器进行处理。

C. 能量存储使用

图6展示了在电价方案A下储能的最优充放电策略，其中$\beta = 100\%$。从图6可以看出，储能在计算需求较低的时段1:00–7:00和23:00–24:00进行充电。在高峰期（即8:00–22:00），储能放电以向边缘服务器提供更多电力。

图7分别展示了在电价方案B下储能的最优充放电策略，其中$\beta = 80\%$。我们注意到，图7显示的充放电趋势与图6相似。然而，充放电能量的量低于前一种情况。这是因为较高的购电价格和较低的可再生能源允许水平导致储能的充电水平降低，从而减少了放电水平。

D. 可再生能源利用

图8和图9分别显示了在电价方案A（$\beta = 100\%$）和电价方案B（$\beta = 80\%$）下的最优利用的可再生能源。从图8可以看出，在整个时间范围内的大多数时段，可再生能源利用率几乎相同，并达到可再生能源发电的上界，仅在8:00–10:00期间例外。这是因为我们假设所提出的移动边缘网络中可再生能源的使用是免费的。因此，将尽可能多地利用可再生能源为边缘服务器供电或为储能充电。在8:00–10:00期间，可再生能源利用率未达到上界，因为在储能的能量供应与微型基站的能量需求之间取得了平衡。在图9中，我们可以看到类似的柱状图，但与图8所示情况相比，能量水平较低。也就是说，较低的$\beta$和较低的购买价格会使所提出的方案倾向于使用更多的电网电力和更少的可再生能源来为系统供电。

七、结论

通过集成边缘服务器和储能，配备可再生能源的移动边缘网络能够通过平抑可再生发电的随机波动性，提供低延迟计算和可靠的能源服务。关键问题在于如何部署边缘服务器和储能，并对其进行有效管理以服务异构设备。本文解决了这些重要问题。通过随机优化，我们构建了一个移动边缘网络，并提出了相关的任务卸载以及充/放电策略，同时满足可再生能量配置文件的要求。所提出的集中式与分布式算法展示了如何最优地部署边缘服务器和储能单元，并结合相应的运行机制以降低系统成本。预计本文为配备可再生能源的移动边缘网络提供了一种可行的建模与优化方法。