12、变分量子本征求解器（VQE）：原理、计算与应用

变分量子本征求解器（VQE）：原理、计算与应用

1. 变分量子本征求解器概述

参数化量子电路（PQC）在量子机器学习之外有诸多应用，如投资组合优化和蛋白质折叠等。无论具体算法如何，核心都是通过最优的PQC配置和可调参数构建具有所需特性的量子态，这通常通过最小化成本函数来实现。

变分量子本征求解器（VQE）是基于PQC的算法，旨在找到问题哈密顿量的最小本征值（最低能量）。许多NP难组合优化问题的目标函数可编码在量子系统的哈密顿量中，因此找到哈密顿量的基态就能得到目标函数的最小值。

2. 变分方法

在训练判别式（QNN）和生成式（QCBM）模型时，任务是找到PQC参数的最优配置，使量子态具有所需特性。这一过程在量子机器学习中称为学习，可通过可微或不可微的方式进行，核心是通过改变可调电路参数来最小化成本函数。

若要最小化的成本函数编码在问题哈密顿量中，目标是找到其基态。虽然量子退火器可解决此类问题，但也可在PQC框架下使用门模型量子计算机找到量子系统的最低能量态。

哈密顿量H的特征方程为 (H |\psi_i\rangle = E_i |\psi_i\rangle)，目标是找到对应基态 (|\psi_0\rangle) 的最小本征值 (E_0)。在大多数情况下，基态未知，需通过寻找使H的期望值最小的状态来找到基态。

根据谱定理，可将厄米哈密顿量H展开为 (H = \sum_{i} E_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|)。对于近似基态 (|\psi\rangle)，H的期望值为 (\langle\psi| H |\psi\rangle = \sum_{i} E_i |\langle\psi, \psi_i\rangle|^2)。由于 (|\langle\psi, \psi_i\rangle|^2 \geq 0) 且 (E_0) 是最小本征值，所以 (\langle\psi| H |\psi\rangle \geq E_0)。

PQC的作用是产生候选态 (|\psi\rangle)，算法的变分部分是迭代改进候选态（迭代更新可调参数），这是混合量子 - 经典协议的经典部分。量子部分是运行PQC并在构建的量子态上测量H以获得其期望值。变分方法使我们能在数字门模型量子计算机上解决编码在哈密顿量中的困难优化问题，是绝热量子计算的替代方案。

3. 在量子计算机上计算期望值

VQE算法的关键是计算期望值，下面分别介绍单量子比特、双量子比特和多量子比特情况下的计算方法。

3.1 单量子比特情况

对于单量子比特系统，任何2×2酉且厄米矩阵可分解为泡利矩阵X、Y、Z和单位矩阵I的和，即 (H = aX + bY + cZ + dI)。对于给定态 (|\psi\rangle)，H的期望值为 (\langle H \rangle \equiv \langle\psi| H |\psi\rangle = a \langle\psi| X |\psi\rangle + b \langle\psi| Y |\psi\rangle + c \langle\psi| Z |\psi\rangle + d \langle\psi| I |\psi\rangle)。

• 单位矩阵项 (dI)： 由于 (\langle\psi| I |\psi\rangle = \langle\psi| \psi\rangle = 1)，该项对 (\langle H \rangle) 的贡献为d。
• Z项 (cZ)： 在计算基（z基）下， (|\psi\rangle = \alpha_z |0\rangle + \beta_z |1\rangle)，(\langle\psi| Z |\psi\rangle = |\alpha_z|^2 - |\beta_z|^2)。通过运行量子电路构建态 (|\psi\rangle) 并进行N次测量，可估计 (|\alpha_z|^2) 和 (|\beta_z|^2)，Z项对 (\langle H \rangle) 的贡献为 (c \frac{n_0 - n_1}{N})，其中 (n_0) 和 (n_1) 分别是测量到 (|0\rangle) 和 (|1\rangle) 的次数。
• X项 (aX) 和Y项 (bY)： 若能在x基和y基下测量，期望值计算方法与Z项类似。若只能在z基下测量，需在测量前对 (|\psi\rangle) 应用额外的门H和G，使在z基下测量 (|0\rangle) 的概率与在x基下测量 (|+\rangle) 或在y基下测量 (|R\rangle) 的概率相同。H和G的矩阵表示分别为 (H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix}) 和 (G = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -i \ 1 & i \end{bmatrix})。

3.2 双量子比特情况

考虑包含泡利矩阵张量积的哈密顿量，如 (X \otimes Y)。以 (X \otimes Y) 为例，其本征向量可由X和Y的本征向量的张量积得到。

对于双量子比特系统的量子态 (|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle)，可在 (X \otimes Y) 本征向量基下表示。为在z基下测量，可应用 (H \otimes G) 门，使概率振幅保持不变。通过计数测量结果 (|ij\rangle) 的次数 (n_{ij})，(X \otimes Y) 的期望值为 (\langle X \otimes Y \rangle = \frac{n_{00} - n_{01} - n_{10} + n_{11}}{N})。

3.3 多量子比特情况

任何哈密顿量可写成 (H = \sum_{i\alpha} h_i^{\alpha} \sigma_i^{\alpha} + \sum_{ij\alpha\beta} h_{ij}^{\alpha\beta} \sigma_i^{\alpha} \sigma_j^{\beta} + \cdots) 的形式。根据量子可观测量的线性性质，哈密顿量的期望值可表示为各单项期望值的和，即 (\langle H \rangle = \sum_{i\alpha} h_i^{\alpha} \langle \sigma_i^{\alpha} \rangle + \sum_{ij\alpha\beta} h_{ij}^{\alpha\beta} \langle \sigma_i^{\alpha} \sigma_j^{\beta} \rangle + \cdots)。只要哈密顿量可写成关于系统大小的多项式项数，量子计算机就能有效计算其期望值。

4. 构建PQC

构建高质量的候选态用于计算期望值至关重要。下面分别介绍单量子比特和多量子比特系统的PQC构建方法。

4.1 单量子比特方案

通过布洛赫球可知，从 (|0\rangle) 出发，绕任意两个正交轴旋转两次可到达球面上的任意点。对于只含Z和I项的问题哈密顿量，单量子比特PQC只需 (RY(\theta_1)) 和 (RZ(\theta_2)) 门。若要计算X项的期望值，需添加H门；若要计算Y项的期望值，需添加G门。

4.2 多量子比特方案

假设优化问题编码在双量子比特哈密顿量 (H = aX \otimes Y + bY \otimes Z + cZ \otimes X) 中，其期望值为 (\langle H \rangle \equiv \langle\psi| H |\psi\rangle = a \langle\psi| X \otimes Y |\psi\rangle + b \langle\psi| Y \otimes Z |\psi\rangle + c \langle\psi| Z \otimes X |\psi\rangle)。

为计算这些期望值，需构建具有足够灵活可调门的量子电路。如图所示的PQC可用于构建候选态，其中参数 (\theta_1) 和 (\theta_2) 唯一指定第一个量子比特的态 (|\psi_1\rangle)，参数 (\theta_3) 和 (\theta_4) 唯一指定第二个量子比特的态 (|\psi_2\rangle)。

不同项的期望值计算电路如下：
- (\langle X \otimes Y \rangle) 计算电路： 在构建态电路后添加H（第一个量子寄存器）和G（第二个量子寄存器）门，然后进行测量。
- (\langle Y \otimes Z \rangle) 计算电路： 在构建态电路后添加G门，然后进行测量。
- (\langle Z \otimes X \rangle) 计算电路： 在构建态电路后添加H门，然后进行测量。

需要注意的是，上述构建态电路仅包含单量子比特门，添加双量子比特门（如CNOT和CPHASE）可探索更广泛的量子态。

5. 运行PQC

为更好理解算法机制，我们对编码在双量子比特哈密顿量 (H = aX \otimes Y + bY \otimes Z + cZ \otimes X) 中的优化问题进行数值实验，并将结果与直接计算进行比较。

5.1 双量子比特方案实验

根据变分方法和PQC架构，需构建由四个可调参数 (\theta_1)、(\theta_2)、(\theta_3) 和 (\theta_4) 控制的候选态。由于PQC较简单，可采用暴力方法。

暴力方法是将旋转角度的取值范围离散化，(\theta_1) 和 (\theta_3) 是绕y轴的旋转角度，定义在 ([0, \pi]) 区间，离散化为 ({\frac{(2k + 1)\pi}{2m}} {k = 0, \cdots, m - 1})；(\theta_2) 和 (\theta_4) 是绕z轴的旋转角度，定义在 ([0, 2\pi]) 区间，离散化为 ({\frac{(2k + 1)\pi}{2m}} {k = 0, \cdots, 2m - 1})，增量均为 (\frac{\pi}{m})。

以 (m = 8) 为例，对给定的旋转角度配置，在Qiskit量子模拟器上运行100,000次PQC，得到量子态 (|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle) 下 (X \otimes Y)、(Y \otimes Z) 和 (Z \otimes X) 的期望值。选择使 (\langle H \rangle) 最小的态 (|\psi^ \rangle)，并记录对应的旋转角度 (\theta_1^ , \cdots, \theta_4^ )。然后在 (|\psi^ \rangle) 附近进行更精细的搜索，得到新的最优态 (|\psi’\rangle) 和旋转角度 (\theta_1’, \cdots, \theta_4’)。

实验结果如下表所示：
|搜索阶段| (\theta_1) | (\theta_2) | (\theta_3) | (\theta_4) | (\langle H \rangle_{min}) |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|第一次搜索| 1.7671 | 3.0434 | 1.7671 | 1.4726 | -3.93 |
|第二次搜索| 1.5708 | 3.1416 | 1.5708 | 1.5708 | -4.00 |

最优旋转角度配置为 (\theta_1’ = \theta_3’ = \theta_4’ = \frac{\pi}{2})，(\theta_2’ = \pi)，对应的量子态为 (|\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle)，(|\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} |1\rangle)，(|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle = \frac{1}{2} |00\rangle + \frac{i}{2} |01\rangle - \frac{1}{2} |10\rangle - \frac{i}{2} |11\rangle)。

5.2 结果分析

通过直接手动计算可验证实验结果。对于 (\langle X \otimes Y \rangle)，(X) 作用于 (|\psi_1\rangle)，(Y) 作用于 (|\psi_2\rangle)，在计算基（z基）下测量，结果为 -1，系数 (a = 4)，该项对哈密顿量期望值的贡献为 -4。

对于 (\langle Y \otimes Z \rangle) 和 (\langle Z \otimes X \rangle)，经计算，所有基态的测量概率相等，期望值均为0。因此，哈密顿量的总贡献为 -4，与实验结果一致。这表明PQC可用于构建VQE算法的候选态，且候选态的选择和改进可经典地进行，使VQE成为混合量子 - 经典算法的典型示例。

6. VQE在离散投资组合优化中的应用

VQE可用于解决NP难的离散投资组合优化问题。离散投资组合优化问题的QUBO形式是最小化成本函数 (L(q) = \sum_{i = 1}^{N} a_i q_i + \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = i + 1}^{N} b_{ij} q_i q_j)，其中 (q = (q_1, \cdots, q_N)) 是二进制决策变量，表示资产的选择情况。

以包含两个资产的简单情况为例，QUBO成本函数为 (L(q) = a_1 q_1 + a_2 q_2 + b_{12} q_1 q_2)，在Ising模型中可表示为 (L(s) = g_1 s_1 + g_2 s_2 + J_{12} s_1 s_2 + const)，其中 (g_1 = \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{4} b_{12})，(g_2 = \frac{1}{2} a_2 + \frac{1}{4} b_{12})，(J_{12} = \frac{1}{4} b_{12})。

我们使用经典方法（简单的穷举搜索）和VQE方法解决 (a_1 = -2)，(a_2 = 3)，(b_{12} = -2) 的QUBO问题。

经典穷举搜索结果如下表所示：
| (q_1) | (q_2) | (L(q)) |
| ---- | ---- | ---- |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 3 |
| 1 | 0 | -2 |
| 1 | 1 | -1 |

最优解为 (q^* = (1, 0))，即选择资产1，不选择资产2。

VQE计算过程如下：
将哈密顿量 (H_F = g_1 \sigma_1^z + g_2 \sigma_2^z + J_{12} \sigma_1^z \sigma_2^z) 写成量子门形式 (H_F = g_1 Z_1 + g_2 Z_2 + J_{12} Z_1 \otimes Z_2)。计算 (Z) 和 (Z \otimes Z) 的期望值：
- (\langle 0| Z_1 |0\rangle = +1)，(\langle 1| Z_1 |1\rangle = -1)，(\langle 0| Z_2 |0\rangle = +1)，(\langle 1| Z_2 |1\rangle = -1)，(\langle 00| Z_1 \otimes Z_2 |00\rangle = +1)，(\langle 01| Z_1 \otimes Z_2 |01\rangle = -1)，(\langle 10| Z_1 \otimes Z_2 |10\rangle = -1)，(\langle 11| Z_1 \otimes Z_2 |11\rangle = +1)。
- 计算系数 (g_1 = -1.5)，(g_2 = 1)，(J_{12} = -0.5)。
- 计算不同态下 (H_F) 的期望值：
- (|00\rangle)：(\langle H \rangle = g_1 \cdot (+1) + g_2 \cdot (+1) + J_{12} \cdot (+1) = -1)
- (|01\rangle)：(\langle H \rangle = g_1 \cdot (+1) + g_2 \cdot (-1) + J_{12} \cdot (-1) = -2)
- (|10\rangle)：(\langle H \rangle = g_1 \cdot (-1) + g_2 \cdot (+1) + J_{12} \cdot (-1) = 3)
- (|11\rangle)：(\langle H \rangle = g_1 \cdot (-1) + g_2 \cdot (-1) + J_{12} \cdot (+1) = 0)

VQE找到的最优解为 (|01\rangle)，即选择资产1，不选择资产2，与经典穷举搜索结果一致。这表明VQE是解决金融相关NP难优化问题的有效工具。

综上所述，VQE算法基于变分方法，可解决困难的优化问题。通过在量子计算机上计算期望值、构建PQC产生候选量子态，并结合经典方法进行参数优化，VQE在投资组合优化等领域展现出了良好的应用前景。

变分量子本征求解器（VQE）：原理、计算与应用

7. 总结与展望

在前面的内容中，我们详细介绍了变分量子本征求解器（VQE）算法的各个方面。这是一个基于变分方法的强大量子机器学习（QML）模型，为解决复杂的优化问题提供了新的途径。以下是对整个VQE算法的总结：
- 核心原理 ：VQE的核心目标是找到问题哈密顿量的最小本征值，也就是最低能量状态。通过变分方法，不断迭代更新参数化量子电路（PQC）的参数，逐步逼近哈密顿量的基态，从而得到优化问题的解。
- 关键步骤
- 期望值计算 ：我们学习了如何在量子计算机上计算哈密顿量的期望值。对于单量子比特、双量子比特和多量子比特系统，分别介绍了不同的计算方法，核心是将哈密顿量分解为泡利矩阵的组合，然后分别计算各项的期望值并求和。
- PQC构建 ：构建合适的PQC是生成候选量子态的关键。对于单量子比特和多量子比特系统，分别给出了相应的PQC构建方案。通过调整PQC中的旋转角度等参数，可以生成不同的量子态。
- 实验验证 ：通过对编码在双量子比特哈密顿量中的优化问题进行数值实验，并与直接计算结果进行对比，验证了VQE算法的有效性。同时，在离散投资组合优化问题中，VQE也展现出了与经典方法相同的求解能力，证明了其在金融领域的应用潜力。

下面通过一个mermaid流程图来展示VQE算法的整体流程：

graph TD;
    A[初始化PQC参数] --> B[构建候选量子态];
    B --> C[计算哈密顿量期望值];
    C --> D{期望值是否最小};
    D -- 否 --> E[更新PQC参数];
    E --> B;
    D -- 是 --> F[输出最优解];

虽然VQE算法已经取得了一定的成果，但仍然面临一些挑战和需要进一步研究的方向：
- 噪声影响 ：在实际的量子计算机中，噪声是不可避免的。噪声可能会影响量子态的制备和测量结果，从而降低VQE算法的准确性。未来需要研究有效的噪声抑制和纠错技术，提高算法在有噪声环境下的性能。
- 参数优化 ：目前在一些简单的PQC中可以采用暴力方法进行参数优化，但对于更复杂的问题和大规模的PQC，暴力方法的计算量会急剧增加。需要开发更高效的参数优化算法，如自适应优化算法等，以提高算法的效率。
- 应用拓展 ：除了投资组合优化，VQE算法在其他领域的应用还需要进一步探索。例如，在化学领域，VQE可以用于计算分子的基态能量，为药物研发和材料设计提供支持；在物流领域，可用于解决车辆路径规划等优化问题。

8. 与其他算法的比较

在解决优化问题的领域中，除了VQE算法，还有其他一些经典和量子算法。下面将VQE与几种常见的算法进行比较，以便更好地理解VQE的优势和局限性。
|算法名称|算法类型|适用问题|优势|局限性|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|VQE算法|量子算法|NP难组合优化问题，如投资组合优化、化学分子能量计算等|可以在量子计算机上运行，利用量子特性可能实现指数级加速；是混合量子 - 经典算法，结合了量子计算和经典计算的优势|受限于当前量子计算机的噪声和规模；参数优化计算量可能较大|
|量子退火算法|量子算法|QUBO形式的优化问题，如自旋玻璃问题、投资组合优化等|通过绝热演化过程找到问题的基态，原理相对简单；在一些特定问题上有较好的性能|需要将问题转化为特定的Ising模型或QUBO形式；对硬件要求较高，需要专门的量子退火设备|
|经典优化算法（如模拟退火、遗传算法等）|经典算法|各种优化问题，包括线性规划、非线性规划等|不需要量子计算机，可在普通计算机上运行；算法成熟，有丰富的理论和实践经验|对于大规模的NP难问题，计算复杂度高，可能无法在合理时间内得到最优解|

从上述比较可以看出，VQE算法在解决NP难优化问题上具有独特的优势，但也面临着一些技术挑战。随着量子计算机技术的不断发展和算法的不断改进，VQE有望在更多领域发挥重要作用。

9. 实际应用中的注意事项

在将VQE算法应用于实际问题时，需要注意以下几个方面：
- 问题转化 ：要将实际的优化问题准确地转化为哈密顿量的形式。这需要对问题进行深入分析，确定合适的变量和系数，确保哈密顿量能够准确编码问题的目标函数和约束条件。
- 参数选择 ：PQC中的参数选择对算法的性能有重要影响。初始参数的选择会影响算法的收敛速度和最终结果。可以根据问题的特点和经验，选择合适的初始参数范围，并在迭代过程中合理调整参数更新的步长。
- 实验设计 ：在进行数值实验时，要设计合理的实验方案。例如，确定合适的离散化步长、测量次数等，以保证实验结果的准确性和可靠性。同时，要对实验结果进行充分的分析和验证，与经典方法的结果进行对比，确保算法的有效性。

10. 结语

变分量子本征求解器（VQE）算法作为一种新兴的量子计算方法，为解决复杂的优化问题带来了新的希望。通过结合量子计算的强大能力和经典计算的灵活性，VQE在多个领域展现出了巨大的应用潜力。虽然目前还面临一些挑战，但随着量子技术的不断进步和研究的深入，相信VQE算法将会不断完善，在未来的科学研究和实际应用中发挥更加重要的作用。

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在后续的学习中，我们还将介绍另一种混合量子 - 经典方法——量子近似优化算法（QAOA），它也是解决困难优化问题的有效工具。让我们一起期待更多量子算法的精彩表现！