25、模型检查在形式逻辑与字符串问题中的应用

模型检查在形式逻辑与字符串问题中的应用

1. FO2 中的块积与否定嵌套

在形式逻辑的研究中，FO2[<] 的片段 $\Sigma_{2}^{m}$ 通过限制嵌套否定的数量来定义。它们可视为二变量一阶逻辑中交替层次结构 $FO_{2}^{m}$ 的半层，并且有 $\Sigma_{2}^{m} \subseteq FO_{2}^{m} \subseteq \Sigma_{2}^{m + 1}$。已知 $FO_{2}^{m}$ 可定义的语言形成了一个严格的层次结构。

对于每个 $m \geq 1$，我们给出了 $\omega$-项 $U_{m}$ 和 $V_{m}$，使得语言 $L$ 可在 $\Sigma_{2}^{m}$ 中定义，当且仅当其有序句法幺半群属于簇 DA 且满足等式 $U_{m} \leq V_{m}$。利用这一特征，我们可以判定给定的正则语言是否可在 $\Sigma_{2}^{m}$ 中定义。

下面是一些关键的推导过程：
- 观察到 $(p u_{m - 1} q x)^{\omega} p = p (u_{m - 1} q x p)^{\omega} = p (u_{m - 1} x_{m})^{\omega}$。由于 $alph(t’) \subseteq alph(s)$，所以 $h(u) R h(us)$ 意味着 $h(u) R h(ut’)$，对称地，$h(v) L h(sv)$ 意味着 $h(v) L h(t’v)$。通过归纳可得 $h(ut’v) \leq h(utv)$，进而 $h(usv) \leq h(utv)$。
- 定义关系 $t \sim s$ 当且仅当 $t \stackrel{ }{\rightarro