24、二阶逻辑中的块状积与否定嵌套

二阶逻辑中的块状积与否定嵌套

1. 有序幺半群的双侧半直积

双侧半直积是研究有限幺半群分解和簇层次结构的有用工具。下面我们将其定义部分扩展到有序幺半群。

设 $M$ 是有序幺半群，$N$ 是幺半群。为提高可读性，$M$ 中的运算用加法表示，但这并不意味着 $M$ 是交换的。$N$ 对 $M$ 的左作用是一个从 $N \times M$ 到 $M$ 的映射 $(n, m) \to n \cdot m$，满足以下公理：
1. $n \cdot (m_1 + m_2) = n \cdot m_1 + n \cdot m_2$
2. $(n_1n_2) \cdot m = n_1 \cdot (n_2 \cdot m)$
3. $1 \cdot m = m$
4. $n \cdot 0 = 0$
5. 当 $m_1 \leq m_2$ 时，$n \cdot m_1 \leq n \cdot m_2$

通常，我们用 $nm$ 代替 $n \cdot m$ 以简化表示。$N$ 对 $M$ 的右作用对称定义。如果对于所有 $m \in M$ 和 $n_1, n_2 \in N$，有 $(n_1m)n_2 = n_1(mn_2)$，则称左作用和右作用是兼容的。

对于 $N$ 对 $M$ 的兼容左、右作用，我们定义双侧半直积 $M \ast\ast N$ 为集合 $M \times N$ 上的有序幺半群，其乘法定义为：
$(m_1, n_1)(m_2, n_2) = (m_1n_2 + n_1m_2, n_1n_2)$
序关系定义为：
$(m_1, n_1) \leq (m_2, n_2)$ 当且仅