15、快速分支算法解决簇顶点删除问题

快速分支算法解决簇顶点删除问题

在图论中，簇顶点删除问题（Cluster Vertex Deletion，简称 ClusterVD）是一个重要的研究课题。本文将详细介绍一种快速分支算法来解决该问题。

1. 相关引理与推论

• 推论 8 ：设 $S$ 是一个解且 $v \notin S$，若 $Y$ 是 $H_v$ 的一个顶点覆盖，且它支配或等价于顶点覆盖 $X = S \cap V(H_v)$，则 $T := (S \setminus X) \cup Y$ 也是一个解，且 $|T| \leq |S|$。
• 引理 9 ：若 $X$ 是 $H_v$ 的一个顶点覆盖，则存在一个最小解 $S$，使得要么 $v \notin S$，要么 $|X \setminus S| \geq 2$。
• 推论 10 ：若 $MinV(H_v) = 1$，则存在一个不包含 $v$ 的最小解 $S$。
• 引理 11 ：设 $C$ 是包含 $v$ 的 $G$ 的连通分量，且 $C$ 和 $C \setminus {v}$ 都不是簇图。若 $X = {w_1, w_2}$ 是 $H_v$ 的最小顶点覆盖，则存在 $G \setminus {v}$ 的一个非团连通分量 $\overline{C}$，使得 $\overline{C} \cap {w_1, w_2} \neq \varnothing$。
• 引理 12 ：设 $v \in V$，若 $H_