13、线性和二次函数的属性测试边界

线性和二次函数的属性测试边界

在布尔函数的研究中，属性测试和奇偶决策树是重要的研究方向。本文将深入探讨线性和二次布尔函数的属性测试边界，以及奇偶决策树在其中的应用。

基本概念

• 二次布尔函数 ：一个布尔函数若能表示为 $F_2$ 上次数至多为 2 的多项式，则称其为二次函数。用 $Q$ 表示二次函数的集合，$Q_0$ 表示齐次二次函数（无一次项）的集合。线性或二次函数的属性通常指 $L$ 或 $Q$ 的子集。
• 距离度量 ：对于布尔函数 $f$ 和 $g$，$dist(f, g) = Pr_x[f(x) \neq g(x)]$。该概念可自然地扩展到布尔函数集合 $S$ 和 $T$，即 $dist(S, T) = \min_{f\in S, g\in T} dist(f, g)$。有如下简单而有用的观察：
  • 若 $f$ 和 $g$ 是线性函数，则要么 $f = g$，要么 $dist(f, g) \geq \frac{1}{2}$；若 $f$ 和 $g$ 是二次函数，则要么 $f = g$，要么 $dist(f, g) \geq \frac{1}{4}$。

属性测试

• $\epsilon$-测试 ：设 $P$ 是 $n$ 元布尔函数的一个属性。若一个随机算法 $A$ 在给定输入函数 $f$ 的真值表的预言访问权限下，能以至少 $\frac{2}{3}$ 的概率确定 $f \in P$ 或 $dist(f, P) \geq \eps