5、可定义性格的深入探究

可定义性格的深入探究

1. 自同构与伽罗瓦对应及ω - 范畴性

在可定义性空间的研究中，自同构群是一个关键对象。对于集合(D)，其对称群(\text{Sym}(D))由(D)的所有置换组成，并且该对称群存在自然的逐点收敛拓扑，其元素邻域基由在有限集上与该元素一致的所有置换构成。

当有空间(S)和(T)满足(S \subseteq T)时，可推出(\text{Aut}(S) \supseteq \text{Aut}(T))，而且空间的自同构群是闭的。与空间约化对应的群被称为(\text{Aut}(S))的超群，不同空间对应的群可能相同。

ω - 范畴结构指的是所有与其初等等价的可数结构都与之同构的结构。对于ω - 范畴结构，可定义性子空间与闭自同构群存在一一对应关系，即(S \subseteq T)当且仅当(\text{Aut}(S) \supseteq \text{Aut}(T))，这种对应是一种反序伽罗瓦连接，这一结论可由斯文诺尼斯定理直接推出，在ω - 范畴性的特殊情况下，也可从恩格勒 - 里尔 - 纳德热夫斯基 - 斯文诺尼斯定理得出。

2. 有理数序与齐次结构

有理数序(\langle \mathbb{Q}; < \rangle)是一个著名的可定义性空间，其所有子空间最早被发现。1965 年，克劳德·弗拉斯奈描述了(\langle \mathbb{Q}; < \rangle)子空间的格结构，其所有子空间可通过以下方式描述：
- 线性介于关系(B) ：可将序关系进行反转，得到(\mathbb{Q})上的三元线性介于关系(B)，当且仅当(y < x < z)或(