15、矩阵理论中的乔丹链、广义特征向量及相关矩阵性质

g8f9d0s1a2

于 2025-08-09 09:58:19 发布

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分类专栏：矩阵代数：计量经济学的基石文章标签：矩阵理论乔丹链广义特征向量

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在矩阵理论中，乔丹链、广义特征向量以及正定（半正定）和幂等矩阵是重要的概念。下面将详细介绍这些概念及相关的定理和练习。

凯莱 - 哈密顿定理的另一种证明
- 要利用相关结论证明凯莱 - 哈密顿定理，根据乔丹分解定理，只需证明((\lambda_1I_n - J)^{n_1}(\lambda_2I_n - J)^{n_2} \cdots (\lambda_kI_n - J)^{n_k} = O)。
- 由于(J)是块对角矩阵，当且仅当对于(i = 1, \cdots, k)，((\lambda_1I_{n_i} - J_{n_i}(\lambda_i))^{n_1} (\lambda_2I_{n_i} - J_{n_i}(\lambda_i))^{n_2} \cdots (\lambda_kI_{n_i} - J_{n_i}(\lambda_i))^{n_k} = O)成立。而这是因为每个乘积中的第(i)项((\lambda_iI_{n_i} - J_{n_i}(\lambda_i))^{n_i} = (-J_{n_i}(0))^{n_i} = O)。
乔丹链内的递归关系
- 设(\lambda)是(n \times n)矩阵(A)的多重特征值，({x_p, x_{p - 1}, \cdots, x_1})是与(\lambda)相关的乔丹链，由广义特征向量(x_p)递归生成，即(x_i = (A - \lambda