6、矩阵的秩、逆与行列式详解

矩阵的秩、逆与行列式详解

1. 矩阵相关基本概念

• 矩阵的向量空间视角 ：一个实 $m×n$ 矩阵既可以看作是 $R^m$ 中的 $n$ 个列向量的集合，也可以看作是 $R^n$ 中的 $m$ 个行向量的集合。与之相关的有两个重要的向量空间，即列空间和行空间。

  • 列空间 ：矩阵 $A$ 的列空间记为 $col A$，它由 $A$ 的所有列向量的线性组合构成，即 $col A := {x \in R^m : x = Ay \text{ 对于某些 } y \in R^n}$。
  • 核空间（零空间） ：矩阵 $A$ 的核空间记为 $ker A$，它是方程 $Ay = 0$ 的所有解的集合，即 $ker A := {y \in R^n : Ay = 0}$。同样地，我们可以定义 $A’$ 的列空间 $col A’$ 和核空间 $ker A’$。
  • 正交补 ：核空间通常也被称为正交补，$col^{\perp}(A) := {x \in R^m : x \perp A} = ker A’$，$col^{\perp}(A’) := {y \in R^n : y \perp A’} = ker A$。$col A$ 和 $col^{\perp}(A) \equiv ker A’$ 是 $R^m$ 的正交子空间，它们的维数之和为 $m$；$col A’$ 和 $col^{\perp}(A’) \equiv ker A$ 是 $R^n$ 的正交子空间，它们的维数之和为 $n$。并且