6、线性代数方程组求解方法及应用

线性代数方程组求解方法及应用

1. 引言

线性代数方程组在科学和工程领域中有着广泛的应用。求解线性代数方程组的方法主要分为直接法和迭代法。直接法通过有限次运算得到精确解（在无舍入误差的理想情况下），而迭代法则从初始猜测解开始，不断改进解直到解的变化可忽略不计。

2. 直接法求解线性代数方程组

• 杜利特尔分解法（Doolittle’s decomposition）
  • 原理 ：将矩阵 $A$ 分解为下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$ 的乘积，即 $A = LU$，然后通过求解 $Ly = b$ 和 $Ux = y$ 来得到方程组 $Ax = b$ 的解。
  • 应用示例 ：
    • 求解方程组 $Ax = b$，其中 $A = \begin{bmatrix}3 & -3 & 3 \ -3 & 5 & 1 \ 3 & 1 & 5\end{bmatrix}$，$b = \begin{bmatrix}9 \ -7 \ 12\end{bmatrix}$。可以利用杜利特尔分解法，先对 $A$ 进行分解，再依次求解 $Ly = b$ 和 $Ux = y$。
    • 对于对称矩阵 $A = \begin{bmatrix}2 & -2 & 0 & 0 & 0 \ -2 & 5 & -6 & 0 & 0 \ 0 & -6 & 16 &a