3、线性代数方程组的求解方法

线性代数方程组的求解方法

1. 引言

在数值分析中，求解 $n$ 个未知数的 $n$ 个线性代数方程组是一个重要且常见的问题。这类方程组在各种物理问题建模中经常出现，而且规模往往很大，会消耗大量的计算资源。不过，通过利用系数矩阵的特殊性质，如稀疏性（稀疏矩阵的大多数元素为零），通常可以减少存储需求和运行时间。

2. 符号表示

线性代数方程组的一般形式为：
[
\begin{cases}
A_{11}x_1 + A_{12}x_2 + \cdots + A_{1n}x_n = b_1 \
A_{21}x_1 + A_{22}x_2 + \cdots + A_{2n}x_n = b_2 \
\cdots \
A_{n1}x_1 + A_{n2}x_2 + \cdots + A_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
]
用矩阵表示为 $Ax = b$，其中：
[
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix},
x =
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2