Tarjan复习

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强连通分量

模板 题解

$low[u]$表示顶点u及其子树中的点连接的所有点的$dfn$的最小值。
在$dfs$过程中把沿途的点都入栈。在更新一个点的$low$值的时候，一定是该点被它能到达的点给更新。当遇到一个还在栈里的点，相当于是走出来了一个$\rho$型。那么这个环就构成了一组强连通分量。它们两两之间一定可以相互到达。而这个环的尾巴上的点的$low$值是被它撞上的点的$dfn$更新的，如下：

else if(ins[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);

这是因为这个环的尾巴上的这个点不一定能到达外面那条链上的点。（看$\rho$的形状）

而如果遇到一个点，$dfn$值不为$0$，而又不在栈里，说明它已经被归到一个强连通分量里面了。就不管它。

如果遇到一个点，$dfn$值为$0$，即还没有搜过，就搜它。搜完之后用它的$low$值去更新当前点的$low$值。

栈的顶端一部分存下的是一个强连通图。走到死胡同的时候相当于一个点就是一个强连通图了。

void tarjan(int u){
	st[++top]=u,ins[u]=1;
	dfn[u]=low[u]=++sz;
	for(int i=Head[u];i;i=Next[i]){
		int v=V[i];
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(ins[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		int j;tot+=1;
		while(j!=u){
			j=st[top--];
			ins[j]=0;
			belong[j]=tot;
			W[tot]+=val[j];
		}
	}
}

割点

首先，“根节点有n棵子树”这句话，是说这n棵子树是独立的，没有根节点不能互相到达。因此n不一定等于与根节点相邻的顶点数。因此加入了vis[v]为false的条件，因为如果(u, v1)和(u, v2)在一棵子树里，对v1进行DFS，一定能去到v2，vis[v2]就会为true，此时就不会children++了。
对于边(u, v)，如果low[v]>=dfn[u]，即v即其子树能够（通过非父子边）回溯到的最早的点，最早也只能是u，要到u前面就需要u的回边或u的父子边。也就是说这时如果把u去掉，u的回边和父子边都会消失，那么v最早能够回溯到的最早的点，已经到了u后面，无法到达u前面的顶点了，此时u就是割点。

例题
选中的点是去掉与它相连的所有边。
每个被隔离的点的答案有三部分
①它与其他点$n-1$个点，这$n-1$对不能相连。
②若干独立的强连通图。不同的图的内部点之间不能互相到达。
③所有强连通图中的点不能到达其他点。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=1e6+10;
int Head[maxn],Next[maxm],V[maxm],cnt=0;
int n,m,u,v,dfn[maxn],low[maxn],cut[maxn],size[maxn],tot=0;
inline void add(int u,int v){Next[++cnt]=Head[u],V[cnt]=v,Head[u]=cnt;}
ll ans[maxn];
void tarjan(int u,int sum=0){
	size[u]=1,dfn[u]=low[u]=++tot;
	for(int i=Head[u];i;i=Next[i]){
		if(!dfn[V[i]]){
			tarjan(V[i]),low[u]=min(low[u],low[V[i]]),size[u]+=size[V[i]];
			if(low[V[i]]>=dfn[u])ans[u]+=1ll*sum*size[V[i]],sum+=size[V[i]];
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[V[i]]);
	}ans[u]+=1ll*sum*(n-sum-1);
}
inline int read(){
	int x=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i) u=read(),v=read(),add(u,v),add(v,u);
	tarjan(1);for(int i=1;i<=n;++i) printf("%lld\n",(ans[i]+n-1)*2);
}