模数构造与最短路径算法-优快云博客

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本文介绍了一种利用模数构造和最短路径算法解决特定数学问题的方法。通过将问题转化为图论中的最短路径问题，文章详细阐述了如何建立图模型，并使用SPFA算法求解从源点到每个点的最短路径，从而得出原问题的最优解。适用于算法竞赛和数学建模爱好者。

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神奇构造。令min{a[1]...a[n]}=Amin，以Amin为标准考虑模数。模数一共有[0,Amin-1]。那么对于一个可能的B，假设B÷Amin=k······m，即B=k*Amin+m，那么(k+r)*Amin+m都可以被表示出来（其中r为正整数）。

考虑数组中的一个数a[i]，如果a[i]=k*Amin+m，那么B就可以表示为(k+r)*Amin+m。

（以上m∈[0,Amin-1]）

那么对于每一个m，只需要找到最小的这个k*Amin+m就能得出答案。

于是有了建图的思路：把每一种余数看做图中的点，对于一种余数m，与(m+a[j])%Amin连一条权值为a[j]的边。源点为0.

那么源点到每个点的最短路的长度就是对应的最小的这个k*Amin+m。

设置上下限就用1~R的答案减去1~(L-1)的答案。

//bzoj2118
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
const int oo=1<<30;
int a[13],Amin=oo,S,T,n;
int vis[maxn],Head[maxn],Next[maxn*13],V[maxn*13],cnt=0;
ll Bmin,Bmax,W[maxn*13],dis[maxn],ans=0;
inline void add(int u,int v,ll w){Next[++cnt]=Head[u],V[cnt]=v,W[cnt]=w,Head[u]=cnt;}
inline void spfa(){
	queue<int> Q;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	Q.push(S),dis[S]=0,vis[S]=1;
	while(!Q.empty()){
		int u=Q.front();Q.pop(),vis[u]=0;
		for(int i=Head[u];i;i=Next[i]) if(dis[V[i]]>dis[u]+W[i]){
			dis[V[i]]=dis[u]+W[i];
			if(!vis[V[i]]) Q.push(V[i]),vis[V[i]]=1;
		}
	}
}
inline void build(){
	S=0,T=Amin;
	for(int i=0;i<Amin;++i) for(int j=1;j<=n;++j)
		add(i,(i+a[j])%Amin,a[j]);
}
inline int read(){
	int x=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}
inline ll query(ll x,ll ret=0){
	for(int i=0;i<Amin;++i)
		if(dis[i]<=x) ret+=(x-dis[i])/Amin+1;
	return ret;
}

int main(){
	n=read(),scanf("%lld%lld",&Bmin,&Bmax);
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),Amin=min(Amin,a[i]);
	build(),spfa();
	cout<<query(Bmax)-query(Bmin-1);
}