BJOI2019 奥术神杖-优快云博客

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本文探讨了如何通过分数规划和AC自动机解决特定数学问题。利用对数转换和二分搜索技巧，将问题转化为最大化的分数规划问题，并在AC自动机上进行DP计算，以找到最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先 $\sqrt[n]{w_1w_2w_3\cdots w_n}$ 可以利用对数转化：
$log_2{\sqrt[n]{w_1w_2w_3\cdots w_n}}=\frac{1}{n}\sum log_2\ w_i$
那么令 $t_i=log_2\ w_i$ ，问题就转化为了：
$maximize：\frac{\sum{t_i}}{\sum{1}}$
也就是一个分数规划：二分 $\lambda$ ，权值转化为 $t_i-\lambda$ 。由于求最大值，那么：
如果最大的和小于 $0$ ，说明 $\lambda>ans$ ，则 $r = m i d$ 。（减的多了）
如果最大的和大于 $0$ ，说明 $\lambda<ans$ ，则 $l = m i d$ 。（减的少了）

在 $A C$ 自动机上 $D P$ 出最大值即可。
$d p [i] [j]$ 表示当前填到了原串的第 $i$ 位，处于自动机上的第 $j$ 位的和的最大值。

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define cs const
cs int N=2010,maxS=2010;
cs double eps=1e-5;
int n,m;char S[N],spell[maxS];double W;
namespace AC{
	cs int alpha=10;
	int Pre[N][maxS],Ch[N][maxS],tot=0;double dp[N][maxS];
	struct node{int son[alpha],fail,num;double val;}a[maxS];
	inline void insert(char *s,double v){
		int now=0,len=strlen(s);
		for(int re i=0;i<len;++i){
			if(!a[now].son[s[i]-'0'])
				a[now].son[s[i]-'0']=++tot;
			now=a[now].son[s[i]-'0'];
		}a[now].val=v,a[now].num+=1;
	}
	inline void build_fail(){
		std::queue<int> Q;
		for(int re i=0,v;i<alpha;++i)
			if(v=a[0].son[i]) Q.push(v),a[v].fail=0;
		while(!Q.empty()){
			int u=Q.front();Q.pop();
			a[u].num+=a[a[u].fail].num;
			a[u].val+=a[a[u].fail].val;
			for(int re i=0,v;i<alpha;++i){
				if(v=a[u].son[i]) a[v].fail=a[a[u].fail].son[i],Q.push(v);
				else a[u].son[i]=a[a[u].fail].son[i];
			}
		}
	}
	inline bool check(double x){
		memset(dp,-0x3f,sizeof dp);dp[0][0]=0;
		for(int re i=0;i<n;++i){
			for(int re j=0;j<=tot;++j)
				if(S[i+1]=='.')
					for(int re v=0,k=a[j].son[v];v<alpha;k=a[j].son[++v]){
						double calc=dp[i][j]+a[k].val-x*a[k].num;
						if(dp[i+1][k]<calc) dp[i+1][k]=calc,Pre[i+1][k]=j,Ch[i+1][k]=v;
					}
				else{
					int k=a[j].son[S[i+1]-'0'];double calc=dp[i][j]+a[k].val-x*a[k].num;
					if(dp[i+1][k]<calc) dp[i+1][k]=calc,Pre[i+1][k]=j;
				}
		}
		for(int i=0;i<=tot;++i) if(dp[n][i]>0) return true;
		return false;
	}
	inline void print(int l,int pos){
		if(!l) return;print(l-1,Pre[l][pos]);
		putchar((S[l]=='.')?(Ch[l][pos]+'0'):(S[l]));
	}
	inline void solve(){
		double l=0.0,r=30;
		while(r-l>eps){
			double mid=(l+r)/2;
			if(check(mid)) l=mid;
			else r=mid;
		}check(l);
		for(int i=0;i<=tot;++i)
			if(dp[n][i]>0){print(n,i);return;}
	}
}
using AC::insert;
int main(){
//	freopen("4505.in","r",stdin);
	scanf("%d%d%s",&n,&m,S+1);
	while(m--) scanf("%s",spell),scanf("%lf",&W),W=log(W),insert(spell,W);
	AC::build_fail();return AC::solve(),0;
}