洛谷4550 收集邮票（期望DP）_xn为集齐n张邮票需要的次数求期望-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/g21glf/article/details/88068298

本文深入解析了一个经典的邮票收集问题，通过动态规划（DP）方法，详细阐述了如何计算收集全n种邮票的期望操作次数与总花费。文章提供了完整的代码实现，包括初始化数组、递推公式推导及最终结果输出。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门

【题目分析】

为啥这道题都是道权限题。。。。

虽然代码很短，但是要想清楚还是很难。

令f[i]表示当前已经拥有了i种邮票，要拥有n种邮票的期望操作次数。

那么对于下一次的操作无外乎两种：又一次取到已经得到的邮票和取到新的邮票。

取到已得到的邮票概率为 $\frac{i}{n}$ ，取到新的邮票的概率为 $\frac{n-i}{n}$ ，所以可以得到递推式f[i]=f[i] $\times$ $\frac{i}{n}$ +f[i+1] $\times$ $\frac{n-i}{i}$

整理一下可得：f[i]=f[i+1]+ $\frac{n}{n-i}$

由于计算的是期望操作次数，所以令g[i]表示当前已有i种邮票，要拥有n种邮票的期望花费。

我们视最后一次的操作花费为1，那么从后向前每增加一次操作次数，花费多1，所以有了期望操作次数后，我们可以得到g[i]的递推式：

g[i]= $\frac{i}{n}$ (g[i]+f[i]+1)+ $\frac{n-i}{n}$ (g[i+1]+f[i+1]+1)

整理一下得到：

g[i]=g[i+1]+f[i+1]+f[i]* $\frac{i}{n-i}$ + $\frac{n}{n-i}$

最后答案就是g[0]。

【代码~】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;

int n;
double f[MAXN],g[MAXN];

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=n-1;i>=0;--i)
	  f[i]=f[i+1]+1.0*n/(1.0*(n-i));
	for(int i=n-1;i>=0;--i)
	  g[i]=g[i+1]+f[i+1]+1.0*f[i]*i/(1.0*(n-i))+1.0*n/(1.0*(n-i));
	printf("%.2lf",g[0]);
	return 0;
}