NOIP模拟 k-斐波那契(矩阵求斐波那契+扩展欧几里得)

博客介绍了如何利用矩阵快速幂和扩展欧几里得算法解决k-斐波那契数列问题。针对30%的数据,通过递推方式求解,复杂度为O(n*P)。对于100%的数据,通过矩阵乘法将复杂度降至O(log n),同时利用扩展欧几里得算法判断不定方程的解,如果gcd(f[n], p) != 1,则无解,输出None。" 78183660,6694756,使用SQLSugar进行事务处理,"['数据库开发', 'ORM框架', 'SQL', 'C#编程', '事务控制']

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【题目描述】

    k-斐波那契数列定义如下:

    已知f[n]=1,求【0,P)内所有可能的K。

【输入描述】

    一行两个整数,n和P。

【输出描述】

    从小到大输出所有可能的K,如果没有则输出None。

【输入样例】

5 5

【输出样例】

2

【备注】

对于30%数据,n,P<=1000。

对于100%数据,n, P ≤ 10^9。

 

对于30%的数据,我们可以发现,f[0]=f[1]=k*1,f[2]=f[1]+f[0]=k*2,可以发现k的系数满足斐波那契数列,所以可以直接递推求出f[n]的k的系数,此时问题转换为解f[n]*k≡1(mod p),枚举k,复杂度为O(n*P)。

对于100%的数据,我们发现,对于斐波那契数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],改写一下即为f[n]=f[n-1]*1+f[n-2]*1,发现这类似于矩阵乘法,基础矩阵base为{0,1,1,1},第一个矩阵为{1,0,0,1},这样通过矩阵乘法即可计算出fib[n],因为矩阵乘法具有结合律,所以我们可以利用快速幂的思想来解决求fib[n],将复杂度降为O(log n);求解不定方程时,可以利用扩展欧几里得来解决f[n]*k

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