NOIP模拟 k-斐波那契（矩阵求斐波那契+扩展欧几里得）

最新推荐文章于 2022-04-01 10:34:40 发布

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#扩展欧几里得 #矩阵乘法 #斐波那契

博客介绍了如何利用矩阵快速幂和扩展欧几里得算法解决k-斐波那契数列问题。针对30%的数据，通过递推方式求解，复杂度为O(n*P)。对于100%的数据，通过矩阵乘法将复杂度降至O(log n)，同时利用扩展欧几里得算法判断不定方程的解，如果gcd(f[n], p) != 1，则无解，输出None。" 78183660,6694756,使用SQLSugar进行事务处理,"['数据库开发', 'ORM框架', 'SQL', 'C#编程', '事务控制']

【题目描述】

k-斐波那契数列定义如下：

已知f[n]=1，求【0，P）内所有可能的K。

【输入描述】

一行两个整数，n和P。

【输出描述】

从小到大输出所有可能的K，如果没有则输出None。

【输入样例】

5 5

【输出样例】

【备注】

对于30%数据，n,P<=1000。

对于100%数据，n, P ≤ 10^9。

对于30%的数据，我们可以发现，f[0]=f[1]=k*1,f[2]=f[1]+f[0]=k*2,可以发现k的系数满足斐波那契数列，所以可以直接递推求出f[n]的k的系数，此时问题转换为解f[n]*k≡1(mod p)，枚举k，复杂度为O(n*P)。

对于100%的数据，我们发现，对于斐波那契数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]，改写一下即为f[n]=f[n-1]*1+f[n-2]*1，发现这类似于矩阵乘法，基础矩阵base为{0,1,1,1}，第一个矩阵为{1,0,0,1}，这样通过矩阵乘法即可计算出fib[n]，因为矩阵乘法具有结合律，所以我们可以利用快速幂的思想来解决求fib[n]，将复杂度降为O(log n)；求解不定方程时，可以利用扩展欧几里得来解决f[n]*k≡1(mod p)，由于转化后为f[n]*k+t*p=1，所以任意两个合法k之间至少相差p，所以如果存在可行解，只要调整至[0,p)即可，如果gcd(f[n],p)!=1，那么原不定方程无解，输出None。

贴代码：