2017-07-07：欧拉函数&&容斥原理

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本文介绍了欧拉函数的计算方法及其应用，并通过实例详细解释了如何利用容斥原理解决数学问题。通过具体示例展示了如何求解特定范围内与某个数互质的数的数量。

欧拉函数：

这里写图片描述

= n (p 1 - 1 p 1) (p 2 - 1 p 2) \cdot \cdot \cdot (p 3 - 1 p 3)

$=n (\frac{p_1-1}{p_1})(\frac{p_2-1}{p_2})···(\frac{p_3-1}{p_3})$

定义：整数从1到n中有多少个数与n互质

    m=n;k=n;
    r=sqrt(n);
    for (int i=1;i*i<=r;i++){//k即为φ(n)
        if (!(m%i)) k=k/i*(i-1);
        while (!(m%i)) m=m/i;
    }
    if (m!=1) k=k/m*(m-1);//m可能没有约完，但m定为质数

容斥原理：先允许再排斥

如找从1到100中是2、3、5的倍数的数的个数

a n s = (100 2) + (100 3) + (100 5) - (100 6) - (100 10) - (100 15) + (100 30)

$ans=(\frac{100}{2})+(\frac{100}{3})+(\frac{100}{5})-(\frac{100}{6})-(\frac{100}{10})-(\frac{100}{15})+(\frac{100}{30})$
先找是2、3、5的倍数的数，发现多加了是6,10,15的倍数的个数，然后再减去是6,10,15的倍数的个数发现减多了，再加上是30的倍数的个数