51Nod 1778 小Q的集合_51nod 小q的集合 v2-优快云博客

本文介绍了一种在小模数下计算特定形式方差的方法。利用卢卡斯定理进行巧妙拆解，并通过预处理阶乘及其逆元提高效率。最终通过实例演示了整个计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解：

感觉这题很妙，来搬运一波题解。

拆式子看起来很暴力，但是细想一下其实非常自然。

方差是数值与期望差的平方的期望。由对称性显然有期望为0。只需要求：

首先模数很小，自然想到卢卡斯定理：C(n,m)=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p) (mod p)

C(n,i)=C(n/m,i/m)*C(n%m,i%m)。发现C(n%m,i%m)的取值只有m个。考虑将i按模m分类，提出C(n%m,i%m)，就有：

然后就可以瞎搞了。卡了一波常数刚好跑了1000ms……

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define R register
using namespace std;
const int N=1e6+10;

char s[N];
int k,m;
LL fac[N],fav[N],inv[N];

void Init() {
	inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=fav[1]=fav[0]=1;
	for (int i=2;i<N;i++) {
		inv[i]=(-m/i*inv[m%i])%m;
		if (inv[i]<0) inv[i]+=m;
		fac[i]=fac[i-1]*i%m;
		fav[i]=fav[i-1]*inv[i]%m;
	}
}

inline int C(int x,int y) {
	return fac[x]*fav[y]%m*fav[x-y]%m;
}

int Qpow(R LL x,R int p) {
	R LL ans=1;
	while (p) {
		if (p&1) ans=ans*x%m;
		x=x*x%m; p>>=1;
	}
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%s%d%d",s+1,&k,&m);
	k%=(m-1);
	Init();
	int len=strlen(s+1);
	int sum=0,res=0,n=0;
	for (int i=1;i<=len;i++) {
		n=(n*10+s[i]-'0')%m;
		res=res*10+s[i]-'0';
		sum=(sum*10+res/m)%(m-1);
		res%=m;
	}
	R LL ans=0;
	for (int i=0;i<=n;i++) {
		int t=Qpow(i,k);
		int x=n-i;
		int r=Qpow(x<0?x:x+m,k);
		R LL del=(t-r); 
		if (del<0) del+=m; 
		del=del*del%m;
		ans=(ans+del*C(n,i))%m;
	}
	printf("%lld",Qpow(2,sum)*ans%m);
	return 0;
}

i=0n(ni)⋅(ik−(n−i)k)2)modm