Noip2000，方格取数题解（DP）

最新推荐文章于 2023-10-22 21:37:48 发布

fyy2603

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分类专栏：动规

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本文介绍了一种解决二维动态规划问题的方法，通过压缩状态空间来提高效率。具体地，利用了两个行走者路径的特性，将四维状态压缩为三维，并针对不同区域给出了状态转移方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

　（题目描述截自洛谷）

标签：二维DP

题解：

　假定是两个速度相同的人分别从A走到B，由于题目的数据规模很小，可以用f[x1,y1,x2,y2]表示第一个人走到(x1,y1)，第二个人走到(x2,y2)时可取到的最大值，四维状态。但是注意到x1+y1=x2+y2，所以用记k=x1+y1=x2+y2，将状态就可以压缩为f[k,x1,x2]。这是通常的做法。我的做法是将x1+y1=k的点从右上到左下依次编号为1,2,3...n-abs(k-n)，f[k,i,j]表示当横纵坐标和为k，一个人走到编号为i，另一个人走到编号为j时可取的最大值。想法很自然，但是实现时给我带来了一些麻烦。

沿由右上到左下的对角线将图分为两个部分，左上部分1<=k<=n，右下部分n+1<=k<=2*n-1，这两部分状态转移方程不同。

一个点可以由上方，左方的点转换过来。对于f[k,i,j]，当1<=k<=n时，与之相关的点是f[k-1,i,j]，f[k-1,i-1,j]，f[k-1,i,j-1]，f[k-1,i-1,j-1]；但当n+1<=k<=2*n-时，与之相关的点是f[k-1,i,j]，f[k-1,i+1,j]，f[k-1,i,j+1]，f[k-1,i+1,j+1]。当走到f[k,i,j]时，当1<=k<=n时，新取到的数是a[k-i+1,i]，a[k-j+1,j]；当n+1<=k<=2*n-1时，新取到的数是a[n-i+1,k-n+i]，a[n-j+1,k-n+j]。注意当i=j时的判重，即得状态转移方程：

f[k,i,j]=max{f[k-1,i,j]，f[k-1,i-1,j]，f[k-1,i,j-1]，f[k-1,i-1,j-1] } +a[k-i+1,i]+a[k-j+1,j] (1<=k<=n，1<=i,j<=n-abs(k-n)，i<>j)

f[k,i,j]=max{ f[k-1,i,j]，f[k-1,i-1,j]，f[k-1,i,j-1]，f[k-1,i-1,j-1] } +a[k-i+1,i] (1<=k<=n，1<=i,j<=n-abs(k-n)，i=j)

f[k,i,j]=max{ f[k-1,i,j]，f[k-1,i+1,j]，f[k-1,i,j+1]，f[k-1,i+1,j+1] }+a[n-i+1,k-n+i]+a[n-j+1,k-n+j] (n+1<=k<=2*n-1，1<=i,j<=n-abs(k-n)，i<>j)

f[k,i,j]=max{ f[k-1,i,j]，f[k-1,i+1,j]，f[k-1,i,j+1]，f[k-1,i+1,j+1] }+a[n-j+1,k-n+j] (n+1<=k<=2*n-1，1<=i,j<=n-abs(k-n)，i=j)

代码实现：

最终的代码实现如下：

Var i,j,k,n,m,l,x,y,z:longint;
a:array[0..10,0..10]of longint;
f:array[0..20,0..20,0..20]of longint;
function max(x,y:longint):longint;
Begin if x>y then exit(x) else exit(y); End;
Begin
readln(n);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do a[i,j]:=0;
readln(x,y,z);
while x+y<>0 do
Begin a[x,y]:=z; readln(x,y,z) End;
for k:=1 to 20 do
for i:=0 to 20 do
for j:=0 to 20 do f[k,i,j]:=0;
f[1,1,1]:=a[1,1];
for k:=2 to n do
for i:=1 to k do
for j:=1 to k do
Begin f[k,i,j]:=max(f[k-1,i,j],f[k-1,i,j-1]);
f[k,i,j]:=max(f[k,i,j],f[k-1,i-1,j-1]);
f[k,i,j]:=max(f[k,i,j],f[k-1,i-1,j]);
f[k,i,j]:=f[k,i,j]+a[k-i+1,i]+a[k-j+1,j];
if i=j then f[k,i,j]:=f[k,i,j]-a[k-i+1,j];
End;
for k:=n+1 to 2*n-1 do
for i:=1 to 2*n-k do
for j:=1 to 2*n-k do
Begin f[k,i,j]:=max(f[k-1,i,j],f[k-1,i,j+1]);
f[k,i,j]:=max(f[k,i,j],f[k-1,i+1,j+1]);
f[k,i,j]:=max(f[k,i,j],f[k-1,i+1,j]);
l:=n-i+1;
f[k,i,j]:=f[k,i,j]+a[n-i+1,k-n+i]+a[n-j+1,k-n+j];
if i=j then f[k,i,j]:=f[k,i,j]-a[n-i+1,k-n+i];
End;
write(f[2*n-1,1,1]);
End.