BZOJ1227: [SDOI2009]虔诚的墓主人

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树状数组

题解：

我们发现一个格子的答案就是：

$$C(left,k) * C(right,k) * C(up,k) * C(down,k)$$
$left、right、up、down$分别表示这个点的左右上下有几棵树。

坐标范围很大，想到离散化，而且本题无需关心离散后的坐标与原坐标的转化，因为空行和空列没有贡献，因此下面直接用离散化之后的坐标即可。
离散化后$n*m$仍然很大，显然无法一个一个的计算，因此想到看看是否有一片点的贡献是一样的，一起计算。
我们注意到一行中两个相邻点之间的$C(left,k) * C(right,k)$是一样的，把它提出来：

$$C(left,k) * C(right,k)*\sum_{x=l}^{r}{C(up[x],k)*C(down[x],k)}$$
这个$\sum$可以用树状数组维护。具体来说，开一个$x$坐标的树状数组，一开始所有点都属于$up$，当扫完一行时，把这一行里的点切换到$down$。其实就是减去原来的加上新的。详见代码。

Code：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define D(x) cout<<#x<<" = "<<x<<"  "
#define E cout<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 200005;
const ll mod = 2147483648LL;

ll c[N][11], ans;
int n,m,w,k;
int tpx[N],tpy[N],xtot[N],ytot[N],downcnt[N],upcnt[N];

struct BIT{
    ll c[N]; int sz;
    void init(int _sz){ sz=_sz; memset(c,0,sizeof(c)); }
    void add(int x,ll d){ while(x<=sz){ c[x]=(c[x]+d)%mod; x+=x&(-x); } }
    ll sum(int x){ ll ans=0; while(x>0){ ans=(ans+c[x])%mod; x-=x&(-x); } return ans; }
    ll sum(int l,int r){ if(l<=r) return ((sum(r)-sum(l-1))%mod+mod)%mod; else return 0; }
} bit;

struct Point{
    int x,y;
} p[N];
bool cmp(const Point &a, const Point &b){ return a.y<b.y || (a.y==b.y && a.x<b.x); }

void init(){
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=w;i++){
        c[i][0]=1; int lim=min(k,i);
        for(int j=1;j<=lim;j++){
            c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1]) %mod;
        }
    }
}

void insert(int x){
    bit.add(x,-(c[downcnt[x]][k]*c[upcnt[x]][k])%mod);
    downcnt[x]++; upcnt[x]--;
    bit.add(x,(c[downcnt[x]][k]*c[upcnt[x]][k])%mod);
}

int main(){
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&w);
    for(int i=1;i<=w;i++){ scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); tpx[i]=p[i].x; tpy[i]=p[i].y; }
    scanf("%d",&k);

    sort(tpy+1,tpy+1+w); int tpysz=unique(tpy+1,tpy+1+w)-tpy-1;
    for(int i=1;i<=w;i++){ p[i].y=lower_bound(tpy+1,tpy+1+tpysz,p[i].y)-tpy; }
    sort(tpx+1,tpx+1+w); int tpxsz=unique(tpx+1,tpx+1+w)-tpx-1;
    for(int i=1;i<=w;i++){ p[i].x=lower_bound(tpx+1,tpx+1+tpxsz,p[i].x)-tpx; }

    init(); bit.init(tpxsz); sort(p+1,p+1+w,cmp);
    for(int i=1;i<=w;i++){ xtot[p[i].x]++; ytot[p[i].y]++; upcnt[p[i].x]++; }

//  for(int i=1;i<=w;i++){ printf("(%d,%d)\n",p[i].x,p[i].y); }

    int line=p[1].y, lcnt=0;
    for(int i=1;i<=w;i++){
        if(p[i].y>line){
            for(int j=i-1;j && p[j].y==line;j--) insert(p[j].x);
            line=p[i].y; lcnt=0;
        }
        if(i-1 && p[i-1].y==p[i].y){
            lcnt++;
            ans = (ans + 
                bit.sum(p[i-1].x+1,p[i].x-1) 
                * c[lcnt][k] %mod 
                * c[ytot[p[i].y]-lcnt][k] %mod
            ) %mod;
//          D(i); D(ans); printf("%lld %lld %lld  ",bit.sum(p[i-1].x+1,p[i].x-1),c[lcnt][k],c[ytot[p[i].y]-lcnt][k]); E;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
}