9、解耦过滤方程：提升卡尔曼滤波效率的关键技术

解耦过滤方程：提升卡尔曼滤波效率的关键技术

1 引言

卡尔曼滤波作为一种强大的状态估计工具，在许多实时应用中发挥着重要作用。然而，当面对高维状态向量时，传统的卡尔曼滤波算法可能会产生大量无用的信息，导致计算资源浪费。为了解决这个问题，解耦方法应运而生。通过将高维卡尔曼滤波算法分解为多个独立的一维递归公式，解耦方法使得我们能够专注于感兴趣的特定状态变量分量，从而提高滤波过程的效率。本文将详细介绍解耦方法的原理及其在实时追踪中的应用。

2 解耦公式的理论基础

2.1 限制性卡尔曼滤波器简介

限制性（或稳态）卡尔曼滤波器提供了一种非常有效的实时估计时间不变线性系统状态向量的方法。考虑一个时间不变线性随机系统，其状态空间描述为：

[
\begin{cases}
x_{k+1} = Ax_k + \Gamma \xi_k \
v_k = Cx_k + \eta_k
\end{cases}
]

其中，(A)、(\Gamma) 和 (C) 分别是已知的 (n \times n)、(n \times p) 和 (q \times n) 常数矩阵，而 ({\xi_k}) 和 ({\eta_k}) 是均值为零的高斯白噪声序列，方差矩阵分别为 (Q) 和 (R)。

2.2 极限卡尔曼增益矩阵

极限卡尔曼增益矩阵 (G) 由下式给出：

[
G = P C^T (CPC^T + R)^{-1}
]

其中 (P) 是矩阵Riccati方程的正定解：

[
P =