80、最近公共祖先的高效评估

最近公共祖先的高效评估

1. 相关概念定义

1.1 最大 k 连续叶子元素

对于树 T，若序列 C 不存在 k 连续叶子元素 C’ 使得 |C| < |C’|，则称 C 为 T 的最大 k 连续叶子元素，记为 Mk。

1.2 RValue

设 Lmax 为树 T 的最大层级。层级 ℓ 的 RValue（记为 Rℓ）定义如下：
- 若 ℓ = Lmax - 1，则 Rℓ = 1；
- 若 0 < ℓ < Lmax - 1，则 Rℓ = 2Rℓ + 1 × |Mℓ + 1| + 1。

例如，对于某 XML 树，Lmax = 5，|M1|、|M2|、|M3| 和 |M4| 分别为 9、4、1 和 1，则：
- R4 = 1
- R3 = 3
- R2 = 2 × 3 × |M3| + 1 = 7
- R1 = 2 × 7 × |M2| + 1 = 57

为便于评估 XPATH 查询，DocumentRValue 中的 RValue 属性存储的是 Rℓ−1 / 2 + 1 而非 Rℓ。

1.3 DeweyOrderSum

DeweyOrderSum 用于使用单个值对元素及其祖先的顺序信息进行编码。对于树 T 中层级为 ℓ 的叶子元素 n，若 a 是 n 的祖先或 n 本身，k 是 a 的层级，且 a 是其父节点的第 i 个子节点，则 Ord(n, k) = i。n 的 DeweyOrderSum（n.DeweyOrderSum）定义为：
[n.DeweyOrderSum = \sum_{j