HYSBZ/BZOJ 3994 约数个数和(莫比乌斯反演)

题意

给你n和m求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(ij)$$
其中$d(x)$表示$x$约数的个数

思路

这道题其实有一个很神奇的结论
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(ij)=\sum _{gcd(i,j)==1}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{j}\rfloor$$
及$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{j}\rfloor [gcd(i,j)==1]$$
那么有了这个式子之后我们就可做了，已知
$$\sum _{d|n}\mu (d)=[n==1]$$
把$n=gcd(i,j)$带入上式有
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{j}\rfloor \sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)$$
我们改变枚举变量，令$N=min(n,m)$，原来枚举的是$gcd(i,j)$的因子，而$gcd(i,j)$的范围为$1\sim N$，相当于枚举$1\sim N$中每个数的因子，这和枚举$1\sim N$中每个数的倍数是等价的，故有
$$=\sum _{d=1}^N\mu (d)\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\lfloor \frac{n}{id}\rfloor \sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}\lfloor \frac{m}{jd}\rfloor$$
我们令$f(n)={\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$
可以看出上式是枚举$1\sim n$中每个数的倍数有多少个，这个和每个数的约数有多少个是等价的，所以$f(n)$枚举的就是$1\sim N$中每个数的约数和，那么我们只要筛出每个数的约数个数再做一个前缀和就可以得到$f(n)$了
那么原式有
$$=\sum _{d=1}^N\mu (d)f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )f(\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )$$
就可以在$O(\sqrt{n}+\sqrt{m})$的复杂度下求解了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int d[N];
int prime[N];
int vis[N];
int num[N];
int mu[N];
int cnt;
void init()
{
    cnt=0;
    d[1]=1;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            d[i]=2;
            num[i]=1;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;prime[j]*i<N&&j<cnt;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]!=0)
            {
                d[i*prime[j]]=d[i]*2;
                num[i*prime[j]]=1;
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
            else
            {
                d[i*prime[j]]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);
                num[i*prime[j]]=num[i]+1;
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)
        {
            d[i]=d[i-1]+d[i];
            mu[i]=mu[i-1]+mu[i];
        }
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        long long sum=0;
        int minn=min(n,m);
        for(int i=1,last;i<=minn;i=last+1)
        {
            last=min(n/(n/i),m/(m/i));
            sum+=1ll*(mu[last]-mu[i-1])*d[n/i]*d[m/i];
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}