实用算法实现-第 18 欧拉回路

 

18.1    欧拉回路存在性的判断

欧拉回路问题可以分为无向图中的欧拉回路和欧拉通路，有向图中的欧拉回路和欧拉通路。这几个问题大抵相像。

有向欧拉回路有：

定理：假设有像多重图D有性质：当忽略有向边上的方向时，得到的图是连通的，那么D有有向欧拉回路当且仅当D的每个顶点的入度和出度相等。

类似的，对有向欧拉通路有：

定理：D有有向欧拉通路，当且仅当除两个不同顶点B和C之外，D的其它顶点的入度和出度相等，且B的出度比入度大1，C的入度比出度大1。在这种情况下，有向欧拉通路自B出发，至C终止。

由上面的定理可以知道，如果要判断一个有向图的欧拉回路是否存在，需要先判断连通性，再判断出度入度。对于无向图，判断方法类似。

判断连通性可以通过DFS或者并查集来实现。

18.2    欧拉回路的构建

在构建欧拉回路之前需要判断欧拉回路是否存在。

构建欧拉回路可以使用Fleury算法。Fleury算法要求能不走桥就不走桥：

1. 任取v0∈V(G)，令P0=v0。

2. 设Pi=v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,ei}中选取ei+1：

a) ei+1与vi相关联；

b) 除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,…,ei}中的桥。

3. 当2.不能再进行时，算法停止。

构建欧拉回路的Fleury算法可以实用DFS来实现。

《离散数学》中还介绍了另一种构建欧拉回路的算法，就是任意遍历图，直到形成回路，在回路中选择还与不在回路中的点连接的任意点作为起点，再次遍历余下的图，直到形成回路，将找到的新回路加入原来的回路中。如此反复，直到所有的点都已经包含在回路中。这种算法相比Fleury算法较难控制回路的生成，例如下面的例子似乎就不适合用这种方法解决。

18.2.1    实例

PKU JudgeOnline, 2337, Catenyms.

18.2.2    问题描述

给出一些字符串，判断是否能形成欧拉回路。如果不能，输出“***”。否则输出字典序最小的回路。

18.2.3    输入

2

6

aloha

arachnid

dog

gopher

ra