实用算法实现-第 10 篇动态规划_直线k覆盖问题动态规划-优快云博客

10.1 动态规划

10.1.1 实例

PKU JudgeOnline, 1160, Post Office.

10.1.2 问题描述

一条直线上分布着V个村庄。要在这些村庄中的某些村庄里建一共P个邮局，使得村庄到离它最近的邮局的距离之和最小。输出这个的最小距离之和。

10.1.3 输入

105

12 3 6 7 9 11 22 44 50

10.1.4 输出

10.1.5 分析

思路：用opt[i][j]记录把前i个邮局建到前j个村庄中的最优解，用cost[i][j]记录所有在i到j村庄中，建1个邮局的最小代价。显然邮局应该设到中点。让前i个邮局覆盖前j个村庄，第i+1个邮局覆盖第j+1至j+k个村庄(j+k<=n)，则状态转移方程为:

opt[i+1][j+k]=min{opt[i][j]+cost[j+1][j+k];} (k+j<=n)

Cost数组存放从i到j中有一个邮局的最小代价，显然该邮局应该放在中间。

Opt[i][j] 表示前i个邮局覆盖前j个村庄的最小代价，对于i=1来说，opt[i][j] = cost[i][j],让前2个邮局覆盖前j个村庄，也就是i=2的情况，可能是一下情况的最优解：第一个邮局覆盖第一个村庄，第二个村庄覆盖2-j个村庄，或者第一个邮局覆盖第1-2个村庄，第二个村庄覆盖3-j个村庄，第一个邮局覆盖第1-3个村庄，第二个村庄覆盖4-j个村庄，等等等等。

10.1.6 程序

#include <iostream.h>
#include <string.h>
int  distance[303];
int cost[303][303];
int opt[303][303];
int main()
{
     int V,P;
     int i;
     int j;
     int k;
     int mid;
     while(cin>> V){
         cin >> P;
         for(i =1; i <= V; i++){
              cin >> distance[i];
         }
         memset(cost, 0, sizeof(cost));
         for(i =1; i <= V; i++){
              for(j= i; j <= V; j++){
                   cost[i][j] = 0;
                   mid = (i + j)/2;
                   for(k= i; k <= j; k++){
                       inttemp = distance[mid] - distance[k];
                       if(temp< 0){
                            temp = -temp;
                       }
                       cost[i][j] +=  temp;
                   }              
              }
}
         memset(opt, 0x7F, sizeof(opt));
         opt[0][0] = 0;
         for(i =0; i <= P; i++){
              for(j= i; j <= V; j++){
                 if(opt[i][j] < 0x7F7F7F7F){
                       for(k= j; k <= V; k++){
                            int temp = opt[i][j] + cost[j + 1][k];   
                            if(opt[i+1][k] > temp){
                                 opt[i+1][k] =temp;
                            }
                       }
                   }
            }
         }
         cout << opt[P][V] << endl;
     }
     return 1;
}

10.2 最长公共子序列（LCS）

LCS问题在《算法导论》中有着详尽的分析。

需要注意的是一个串的LCS并不是唯一的。

10.2.1 实例

PKU JudgeOnline, 1458, Common Subsequence.

10.2.2 问题描述

给定两个字符串，求两者的最长公共子序列的长度。

10.2.3 输入

abcfbc abfcab

programming contest

abcd mnp

10.2.4 输出

10.2.5 分析

这是基本的LCS问题。问题并不复杂，因为这里不需要构造一个LCS，而只需求出LCS的长度。

10.2.6 程序

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
int C[1000][1000];
     charX[10000];
     charY[10000];
int main()
{
     while(cin>>X>>Y)
     {
         int m =strlen(X), n = strlen(Y);
         int i =0;
         for(i=0;i<m;i++)C[i][0] = 0;
         for(i=0;i<n;i++)C[0][i] = 0;
         for(i=0;i<m;i++)
         {
              for(int j=0;j<n;j++)
              {
                   if(X[i] == Y[j])
                   {
 
                       C[i][j] = C[i-1][j-1] +1;
                   }
                   elseif (C[i-1][j] >= C[i][j-1])
                   {
 
                       C[i][j] = C[i-1][j];
                   }
                   else
                   {
                       C[i][j] = C[i][j-1];
                   }
              }
         }
         cout << C[m-1][n-1] <<endl;
     }
     return 1;
}

10.3 实例

PKU JudgeOnline, 1160, Post Office.

PKU JudgeOnline, 1014, Dividing.

PKU JudgeOnline, 1157, LITTLE SHOP OFFLOWERS.

PKU JudgeOnline, 3356, AGTC.

PKU JudgeOnline, 1080, Human GeneFunctions.

PKU JudgeOnline, 2250, Compromise.

PKU JudgeOnline, 1458, Common Subsequence.

本文章欢迎转载，请保留原始博客链接http://blog.youkuaiyun.com/fsdev/article